Binom açılımı nedir, genel kuralları nedir? Binom açılımı hakkında özetlemek gerekirse bilgi verip kurallarını anlatabilir misiniz? ...
Binom açılımı nedir, genel kuralları nedir?
Binom açılımı hakkında özetlemek gerekirse bilgi verip kurallarını anlatabilir misiniz?
Binom açılımı hakkında özetlemek gerekirse bilgi verip kurallarını anlatabilir misiniz?
Binom Açılımı
Matematikte binom açılımı, iki sayının toplamının üslü ifadesinin açılımıdır.
Temel Binom Açılımı
n bir naturel sayı iken,
(sigma) Burada, n 'nin k 'li kombinasyonudur.
Genelleştirilmiş Binom Açılımı
Kombinasyon tanımı gerçel ve karmaşık sayıları kapsayacak şekilde genelleştirildiği taktirde;
n'in bir naturel sayı olma şartı ortadan kalkar.
Temel Kurallar
Binom iki terimli anlama gelir ve (x+y)n şeklinde bir iki terimlinin n. üssünü açtığımızda neler olduğu ile ilgilidir. Binom açılımına bildiğimiz iki binom açılımının özelliklerini inceleyerek başlamış olalım. Tam kare açılımı ve küp açılımı, çarpanlara ayırma mevzusundan bilmemiz ihtiyaç duyulan açılımlar:
(x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3
İlk dikkat edeceğimiz özellik üs 2 iken binom açıldığında terim sayısı üç oldu. üs 3'ken şu demek oluyor ki kübün açılımında da terim sayısı dört oldu. Beklenebileceği benzer biçimde üs n iken terim sayısı n+1'dir. Şu demek oluyor ki
(x+y)n
açıldığında n+1 terim çıkar. İkinci mühim nokta, karenin açılımında tüm terimlerde değişkenlerin üsleri toplamı 2 ve kübün açılımında da 3'tür. Karenin açılımında ilk terim x2, ikinci terim 2xy=2x1y1 ve son terim de y2'dir ve üsler toplamı hep 2'dir. Küp açılımında ilk terim x3, ikinci terim katsayıyı önemsemezsek x2y, ve öteki iki terimde de üsler toplamı 3'tür. Hem karede hem de küpte, ilk ve son terimde bir tane değişken görünse de, ikinci değişken de ordaymış benzer biçimde düşünebiliriz. Mesela karedeki ilk terimi x2 yerine x2y0 benzer biçimde küpteki son terim olan y3'ü de x0y3 benzer biçimde düşünebiliriz. Bunu, aşağıdaki iki sonucun her yerde geçerli olabilmesi için yapıyoruz:
- (x+y)n açılımından (n+1) terim çıkar.
- Tüm terimlerde iki değişken de vardır ve üsleri toplamı n'dir. Birinci değişkenin üssü n'den adım atar ve birer birer azalır, ikinci değişkenin üssü 0'dan adım atar ve birer birer artar.
x3y0x2y1x1y2x0y3
Buraya kadar vurguladığımız neticelerle (x+y)6'nın açılımı için şunları yazabiliriz.
(x+y)7=x7+x6y+x5y2+x4y3+x3y4+x2y5+xy6+y7
Mühim iki noktamız kaldı. Birincisi terimlerin başındaki katsayıların bulunuşu ve ikincisi de, bu uzun açılımı yapmadan istediğimiz bir terimi yazmanın yolları. Ilkin ikinci noktadan başlamış olalım. Mesela yukarda 7. dereceden açılım yaptık. Bu açılımı yapmadan 5. terimi yazabilir miydik ? Bunun için y'nin üssünü kullanacağız, birinci terimde y'nin üssü 0, ikinci terimde 1, beşinci terimde 4, demek ki kaçıncı terimde isek y'nin üssü bu sayının 1 düşüğü. Mesela (x+y)11 açılımında 7. terimi yazmaya çalışalım. 7. terim istendiği için y'nin üssü 6'dır. İki değişkenin üsleri toplamı her terimde 11 olmalıydı. Demek ki terim x5y6 şeklindedir. Geriye katsayıların iyi mi bulunacağı kaldı. Katsayılar için kombinasyon formülü kullanacağız. Ilkin formülü hatırlayalım. n'nin r'li kombinasyonu
(nr)=n!r!(n−r)!
(x+y)n açılımında a+b=n olmak suretiyle (üsler toplamı hep n) xayb şeklindeki bir terimin katsayısı (na) ya da (nb)'dir. Kaçıncı üssü açıyorsak onu kombinasyonda üste koyuyoruz ve değişkenlerden birinin üssünü de (istediğimizi seçebiliriz) alta koyuyoruz. Terim x5y6 şeklinde olduğundan, yukarıda (x+y)11 açılımında 7. terimin katsayısı,
(116)=11!6!(11−6)!=11⋅10⋅9⋅8⋅75!=462
Örnek
(x+3y)8 açılımında 5. terim nedir ?
Çözüm
5. terim sorulduğundan ikinci değişkenin üssünün 4 bulunduğunu anlıyoruz. Dikkat edelim burada ikinci değişkeni katsayısı ile beraber almalıyız.
x?â‹…(3y)4
8. üssü açtığımızdan üsler toplamı 8 olmalıdır dolayısıyla
x4â‹…(3y)4
Kombinasyon formülünden katsayı
(84)=70
Dolayısıyla terim
70x4(3y)4=5670â‹…x4â‹…y4
Bu terimin katsayısı bir tek kombinasyondan gelen 70 değildir. 34'te katsayıdır ve bu iki sayı çarpılınca katsayı 5670'tir.
ÖSS ve ÖYS'de çıkmış binom açılımı ile ilgili soru-cevap örnekleri verir misiniz?
AEGEE'nin açılımı nedir, hakkında bilgi verir misiniz?
Binom Açılımı
Bu ileti 'en iyi yanıt' seçilmiştir.
Matematikte binom açılımı, iki sayının toplamının üslü ifadesinin açılımıdır.
Temel Binom Açılımı
n bir naturel sayı iken,
(sigma) Burada
Genelleştirilmiş Binom Açılımı
Kombinasyon tanımı gerçel ve karmaşık sayıları kapsayacak şekilde genelleştirildiği taktirde;
n'in bir naturel sayı olma şartı ortadan kalkar.
Temel Kurallar
Binom iki terimli anlama gelir ve (x+y)n şeklinde bir iki terimlinin n. üssünü açtığımızda neler olduğu ile ilgilidir. Binom açılımına bildiğimiz iki binom açılımının özelliklerini inceleyerek başlamış olalım. Tam kare açılımı ve küp açılımı, çarpanlara ayırma mevzusundan bilmemiz ihtiyaç duyulan açılımlar:
(x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3
İlk dikkat edeceğimiz özellik üs 2 iken binom açıldığında terim sayısı üç oldu. üs 3'ken şu demek oluyor ki kübün açılımında da terim sayısı dört oldu. Beklenebileceği benzer biçimde üs n iken terim sayısı n+1'dir. Şu demek oluyor ki
(x+y)n
açıldığında n+1 terim çıkar. İkinci mühim nokta, karenin açılımında tüm terimlerde değişkenlerin üsleri toplamı 2 ve kübün açılımında da 3'tür. Karenin açılımında ilk terim x2, ikinci terim 2xy=2x1y1 ve son terim de y2'dir ve üsler toplamı hep 2'dir. Küp açılımında ilk terim x3, ikinci terim katsayıyı önemsemezsek x2y, ve öteki iki terimde de üsler toplamı 3'tür. Hem karede hem de küpte, ilk ve son terimde bir tane değişken görünse de, ikinci değişken de ordaymış benzer biçimde düşünebiliriz. Mesela karedeki ilk terimi x2 yerine x2y0 benzer biçimde küpteki son terim olan y3'ü de x0y3 benzer biçimde düşünebiliriz. Bunu, aşağıdaki iki sonucun her yerde geçerli olabilmesi için yapıyoruz:
- (x+y)n açılımından (n+1) terim çıkar.
- Tüm terimlerde iki değişken de vardır ve üsleri toplamı n'dir. Birinci değişkenin üssü n'den adım atar ve birer birer azalır, ikinci değişkenin üssü 0'dan adım atar ve birer birer artar.
x3y0x2y1x1y2x0y3
Buraya kadar vurguladığımız neticelerle (x+y)6'nın açılımı için şunları yazabiliriz.
(x+y)7=x7+x6y+x5y2+x4y3+x3y4+x2y5+xy6+y7
Mühim iki noktamız kaldı. Birincisi terimlerin başındaki katsayıların bulunuşu ve ikincisi de, bu uzun açılımı yapmadan istediğimiz bir terimi yazmanın yolları. Ilkin ikinci noktadan başlamış olalım. Mesela yukarda 7. dereceden açılım yaptık. Bu açılımı yapmadan 5. terimi yazabilir miydik ? Bunun için y'nin üssünü kullanacağız, birinci terimde y'nin üssü 0, ikinci terimde 1, beşinci terimde 4, demek ki kaçıncı terimde isek y'nin üssü bu sayının 1 düşüğü. Mesela (x+y)11 açılımında 7. terimi yazmaya çalışalım. 7. terim istendiği için y'nin üssü 6'dır. İki değişkenin üsleri toplamı her terimde 11 olmalıydı. Demek ki terim x5y6 şeklindedir. Geriye katsayıların iyi mi bulunacağı kaldı. Katsayılar için kombinasyon formülü kullanacağız. Ilkin formülü hatırlayalım. n'nin r'li kombinasyonu
(nr)=n!r!(n−r)!
(x+y)n açılımında a+b=n olmak suretiyle (üsler toplamı hep n) xayb şeklindeki bir terimin katsayısı (na) ya da (nb)'dir. Kaçıncı üssü açıyorsak onu kombinasyonda üste koyuyoruz ve değişkenlerden birinin üssünü de (istediğimizi seçebiliriz) alta koyuyoruz. Terim x5y6 şeklinde olduğundan, yukarıda (x+y)11 açılımında 7. terimin katsayısı,
(116)=11!6!(11−6)!=11⋅10⋅9⋅8⋅75!=462
Örnek
(x+3y)8 açılımında 5. terim nedir ?
Çözüm
5. terim sorulduğundan ikinci değişkenin üssünün 4 bulunduğunu anlıyoruz. Dikkat edelim burada ikinci değişkeni katsayısı ile beraber almalıyız.
x?â‹…(3y)4
8. üssü açtığımızdan üsler toplamı 8 olmalıdır dolayısıyla
x4â‹…(3y)4
Kombinasyon formülünden katsayı
(84)=70
Dolayısıyla terim
70x4(3y)4=5670â‹…x4â‹…y4
Bu terimin katsayısı bir tek kombinasyondan gelen 70 değildir. 34'te katsayıdır ve bu iki sayı çarpılınca katsayı 5670'tir.
YORUMLAR