Faktoriyel nedir? Faktoriyel işlemler hakkında bilgi ve örnekler verir misiniz? Faktöriyel , matematikte, sağına ünlem işareti ko...
Faktoriyel nedir? Faktoriyel işlemler hakkında bilgi ve örnekler verir misiniz?
Faktöriyel, matematikte, sağına ünlem işareti konulmuş sayıya verilen isim, daha genel olan Gamma Fonksiyonu'nun tam sayılarla sınırlanmış hususi bir durumudur. Faktöriyel fonksiyonu verilen pozitif tamsayının kendisinden önceki tüm tamsayılarla 1'e inilinceye kadar çarpılması sonucunda elde edilen çarpımı gösterir.
Örnek olarak,
Faktöriyelleri içeren ifadeler bir sürü niceliğin seri açılımlarında, iki terimli teoremde, permütasyonlarda ve kombinasyonlarda, olasılık kuramında ortaya çıkar.
FAKTÖRİYEL İŞLEMİ
Faktöriyel, 1' den n' ye kadar olan tabii sayıların çarpımıdır. n, bir tabii sayı olmak suretiyle, n faktöriyel
n! = 1.2.3.4.5.6. ... .(n-2).(n-1).n
ya da
n! = n.(n-1).(n-2).(n-3).(n-4). ... .5.4.3.2.1
şeklinde tanımlanır.
0! ile 1! ' in 1 olduğu varsayılacaktır. Kısaca,
0! = 1 ve 1! = 1 dir.
1' den büyük tabii sayıların faktöriyelleri ise şöyleki hesaplanacaktır:
*2! = 2.1 = 2
*3! = 3.2.1 = 3.2! = 3.2 = 6
*4! = 4.3.2.1 = 4.3! = 4.3.2! = 4.3.2 = 24
*5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 5.4.3! = 5.4.6 = 20.6 = 120
*6! = 6.5.4.3.2.1 = 6.5! = 6.120 = 720
*7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 7.6! = 7.720 = 5040
*n! = n.(n-1).(n-2).(n-3). ... .3.2.1 = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)!
*(2n)! = 2n.(2n-1)(2n-2). ... .3.2.1 = 2n.(2n-1)! = 2n.(2n-1).(2n-2)!
*(3n)! = 3n.(3n-1).(3n-2). ... .3.2.1 = 3n.(3n-1)! = 3n.(3n-1).(3n-2)!
*(n+1)! = (n+1).n.(n-1). ... .3.2.1 = (n+1).n! = (n+1).n.(n-1)!
*(n-1)! = (n-1).(n-2).(n-3). ... .3.2.1 = (n-1),(n-2)! = (n-1).(n-2).(n-3)!
Faktöriyelin Bir takım Özellikleri:
1. n >= 2 olmak suretiyle, n! çift tabii sayıdır.
2. n >= 5 olmak suretiyle, n! sayısının son rakamı 0' dır. Kısaca, n! sayısının sonunda genel anlamda 5 asal çarpanlarının sayısı kadar 0 rakamı vardır.
3. n! - 1 sayısının sonundaki 9 rakamlarının sayısı, n! sayısının sonundaki sıfır rakamlarının sayısı kadardır.
4. x, y, n bir sayma sayısı olmak suretiyle, a bir asal sayı ise,
y! = an.x
koşulunu elde eden en büyük n kıymetini sağlamak için
*y sayısı, a asal sayısına bölünür
*Ardışık bölme işlemine, bölme sıfır oluncaya kadar devam edilir ve kısımlar toplanır.
5. x, y, n bir sayma sayısı olmak suretiyle, a bir asal sayı değilse,
y! = an.x
koşulunu elde eden en büyük n kıymetini sağlamak için
*Bu sayı asal çarpanlarına ayrılarak her asal sayı için aynı işlem yapılır
*Bulunan asal sayıların kuvvetleri uygun şekilde düzenlenir.
ÖRNEKLER:
Örnek 1: 6! + 5! işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: 6! + 5! = 6.5! + 5! = (6+1).5! = 7.5! = 7.120 = 840
Örnek 2: 37! sayısının sondan kaç tane basamağı sıfırdır?
Cevap: 37! sayısının içinde bulunan 5 asal çarpanlarının sayısını bulmalıyız. Bu işlemi iki değişik yolla yapabiliriz.
Örnek 3: 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + ... + 40! toplamının 20 ile kısmından kalan kaçtır?
Cevap:
20 = 5 . 4 tür. Bu sebeple, 4 ve 5 çarpanını bulunduran her sayı 20 ile tam bölünür. Kısaca, 5! ve 5! den büyük sayıların toplamı 20 ile tam olarak bölünür. Bu takdirde, 0! + 1! + 2! + 3! + 4! toplamının 20 ile kısmından kalanı bulursak, istenen toplamın 20 ile kısmından kalanı bulmuş oluruz. Buna bakılırsa,
0! + 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1 + 2.1 + 3.2.1 + 4.3.2.1 = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 = 34
34 ün 20 ye kısmından kalan, 14 tür. O halde, 0! + 1! + 2! + 3! + ... + 40! toplamının 20 ile kısmından kalan 14 tür.
Örnek 4: 45! + 60! toplamının sonunda kaç tane sıfır vardır?
Cevap:
Ufak sayının sonunda kaç tane sıfır var ise, toplamın sonunda da o denli sıfır olacağından,
45 in 5 e bölünmesiyle, 45 = 5 . 9 + 0 ve 45 in 25 e bölünmesiyle 45 = 25 . 1 + 20 elde edilir. Bu sebeple, 45! + 60! toplamının sonundaki sıfırların sayısı, bölümlerin toplamı olduğundan, 1 + 9 = 10 vardır.
İkinci yol olarak, 45 = 5 . 9 + 0, 9 = 5 . 1 + 4 olduğundan, sıfırların sayısı gene
1 + 9 = 10 olur.
Örnek 5: 48! - 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı vardır?
Cevap:
48! in sonunda ne kadar sıfır var ise, o denli 9 rakamı vardır. Bu sebeple,
48 = 5 . 9 + 3, 9 = 5 . 1 + 4 olduğundan, 9 + 1 = 10 tane 9 rakamı vardır.
Örnek 6: x ve n sayma sayıları olmak suretiyle, 35! = 3n.x ise, n nin alabileceği en büyük kıymet kaçtır?
Cevap:
n nin alabileceği en büyük kıymeti sağlamak için 35! in içindeki 3 asal çarpanlaının sayısını bulmamız gerekir. Bu işlemi yaparsak, Ardışık bölme işlemleri sonucunda kısımlar şöyleki vardır:
35 = 3 . 11 + 2, 11 = 3 . 3 + 2, 3 = 3 . 1 + 0
Bu sebeple, n nin alabileceği en büyük kıymet, 11 + 3 + 1 = 15 olur.
Örnek 7 : n bir tabii sayı olmak suretiyle,
83! / 14n
işleminin sonucunun tabii sayı olması için, n' nin en büyük kıymeti kaç olmalıdır?
Cevap:
14 = 2 . 7 olduğundan, 83! in içinde kaç tane 7 çarpanı var ise, n' nin en büyük kıymeti odur. Bu sebeple,
83 = 7.11 + 6, 11 = 7.1 + 4 olduğundan, n' nin alabileceği en büyük kıymet
11 + 1 = 12 olur.
Örnek 8: m ve n ardışık çift tabii sayılardır. m > n olmak suretiyle,
ise, n kaçtır?
Cevap: m > n koşuluna bakılırsa, n = 2k ve m = 2k + 2 olsun.
Örnek 9: 1! + 2! + 3! + ... + 843! toplamı hesaplandığında birler basamağındaki sayı kaç olur?
Cevap:
Her terimi tek tek hesaplayalım.
1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, ...
5! ve 5! den büyük sayıların birler basamağı 0 olacağından, bu tarz şeyleri göz önüne almaya gerek kalmamıştır. Bundan dolayı, 5! den önceki sayıların toplamını alıp 10' a bölmeliyiz. Bu durumda, kalan birler basamağını verecektir.
1 + 2 + 6 + 24 = 33 olur ve Kalan 33 = 10.3 +3 vardır.
Bu sebeple, birler basamağı 3 tür.
Örnek 10: 8! + 9! + 10! toplamı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez?
a) 750 b) 625 c) 250 d) 125 e) 10
Cevap:
8! + 9! + 10! = 8! . (1 + 9 + 10.9) = 8! . 100 =8! . 102 = 8! . (2.5)2 = 8! . 22 . 52
8! de 1 tane 5 olduğundan, tüm toplamda 3 tane 5 mevcuttur. Bu sebeple, 625 = 54 olduğundan, toplam 625 ile bölünemez.
Bilgi nedir, bilginin anlamı hakkında bilgi verir misiniz?
Limited şirket yetkililerinin yapabileceği işlemler hakkında bilgi verir misiniz?
Vergi dairelerinde meydana getirilen işlemler hakkında bilgi verir misiniz?
Bu bildiri 'en iyi yanıt' seçilmiştir.
Örnek olarak,
Faktöriyelleri içeren ifadeler bir sürü niceliğin seri açılımlarında, iki terimli teoremde, permütasyonlarda ve kombinasyonlarda, olasılık kuramında ortaya çıkar.
FAKTÖRİYEL İŞLEMİ
Faktöriyel, 1' den n' ye kadar olan tabii sayıların çarpımıdır. n, bir tabii sayı olmak suretiyle, n faktöriyel
n! = 1.2.3.4.5.6. ... .(n-2).(n-1).n
ya da
n! = n.(n-1).(n-2).(n-3).(n-4). ... .5.4.3.2.1
şeklinde tanımlanır.
0! ile 1! ' in 1 olduğu varsayılacaktır. Kısaca,
0! = 1 ve 1! = 1 dir.
1' den büyük tabii sayıların faktöriyelleri ise şöyleki hesaplanacaktır:
*2! = 2.1 = 2
*3! = 3.2.1 = 3.2! = 3.2 = 6
*4! = 4.3.2.1 = 4.3! = 4.3.2! = 4.3.2 = 24
*5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 5.4.3! = 5.4.6 = 20.6 = 120
*6! = 6.5.4.3.2.1 = 6.5! = 6.120 = 720
*7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 7.6! = 7.720 = 5040
*n! = n.(n-1).(n-2).(n-3). ... .3.2.1 = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)!
*(2n)! = 2n.(2n-1)(2n-2). ... .3.2.1 = 2n.(2n-1)! = 2n.(2n-1).(2n-2)!
*(3n)! = 3n.(3n-1).(3n-2). ... .3.2.1 = 3n.(3n-1)! = 3n.(3n-1).(3n-2)!
*(n+1)! = (n+1).n.(n-1). ... .3.2.1 = (n+1).n! = (n+1).n.(n-1)!
*(n-1)! = (n-1).(n-2).(n-3). ... .3.2.1 = (n-1),(n-2)! = (n-1).(n-2).(n-3)!
Faktöriyelin Bir takım Özellikleri:
1. n >= 2 olmak suretiyle, n! çift tabii sayıdır.
2. n >= 5 olmak suretiyle, n! sayısının son rakamı 0' dır. Kısaca, n! sayısının sonunda genel anlamda 5 asal çarpanlarının sayısı kadar 0 rakamı vardır.
3. n! - 1 sayısının sonundaki 9 rakamlarının sayısı, n! sayısının sonundaki sıfır rakamlarının sayısı kadardır.
4. x, y, n bir sayma sayısı olmak suretiyle, a bir asal sayı ise,
y! = an.x
koşulunu elde eden en büyük n kıymetini sağlamak için
*y sayısı, a asal sayısına bölünür
*Ardışık bölme işlemine, bölme sıfır oluncaya kadar devam edilir ve kısımlar toplanır.
5. x, y, n bir sayma sayısı olmak suretiyle, a bir asal sayı değilse,
y! = an.x
koşulunu elde eden en büyük n kıymetini sağlamak için
*Bu sayı asal çarpanlarına ayrılarak her asal sayı için aynı işlem yapılır
*Bulunan asal sayıların kuvvetleri uygun şekilde düzenlenir.
ÖRNEKLER:
Örnek 1: 6! + 5! işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: 6! + 5! = 6.5! + 5! = (6+1).5! = 7.5! = 7.120 = 840
Örnek 2: 37! sayısının sondan kaç tane basamağı sıfırdır?
Cevap: 37! sayısının içinde bulunan 5 asal çarpanlarının sayısını bulmalıyız. Bu işlemi iki değişik yolla yapabiliriz.
Örnek 3: 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + ... + 40! toplamının 20 ile kısmından kalan kaçtır?
Cevap:
20 = 5 . 4 tür. Bu sebeple, 4 ve 5 çarpanını bulunduran her sayı 20 ile tam bölünür. Kısaca, 5! ve 5! den büyük sayıların toplamı 20 ile tam olarak bölünür. Bu takdirde, 0! + 1! + 2! + 3! + 4! toplamının 20 ile kısmından kalanı bulursak, istenen toplamın 20 ile kısmından kalanı bulmuş oluruz. Buna bakılırsa,
0! + 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1 + 2.1 + 3.2.1 + 4.3.2.1 = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 = 34
34 ün 20 ye kısmından kalan, 14 tür. O halde, 0! + 1! + 2! + 3! + ... + 40! toplamının 20 ile kısmından kalan 14 tür.
Örnek 4: 45! + 60! toplamının sonunda kaç tane sıfır vardır?
Cevap:
Ufak sayının sonunda kaç tane sıfır var ise, toplamın sonunda da o denli sıfır olacağından,
45 in 5 e bölünmesiyle, 45 = 5 . 9 + 0 ve 45 in 25 e bölünmesiyle 45 = 25 . 1 + 20 elde edilir. Bu sebeple, 45! + 60! toplamının sonundaki sıfırların sayısı, bölümlerin toplamı olduğundan, 1 + 9 = 10 vardır.
İkinci yol olarak, 45 = 5 . 9 + 0, 9 = 5 . 1 + 4 olduğundan, sıfırların sayısı gene
1 + 9 = 10 olur.
Örnek 5: 48! - 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı vardır?
Cevap:
48! in sonunda ne kadar sıfır var ise, o denli 9 rakamı vardır. Bu sebeple,
48 = 5 . 9 + 3, 9 = 5 . 1 + 4 olduğundan, 9 + 1 = 10 tane 9 rakamı vardır.
Örnek 6: x ve n sayma sayıları olmak suretiyle, 35! = 3n.x ise, n nin alabileceği en büyük kıymet kaçtır?
Cevap:
n nin alabileceği en büyük kıymeti sağlamak için 35! in içindeki 3 asal çarpanlaının sayısını bulmamız gerekir. Bu işlemi yaparsak, Ardışık bölme işlemleri sonucunda kısımlar şöyleki vardır:
35 = 3 . 11 + 2, 11 = 3 . 3 + 2, 3 = 3 . 1 + 0
Bu sebeple, n nin alabileceği en büyük kıymet, 11 + 3 + 1 = 15 olur.
Örnek 7 : n bir tabii sayı olmak suretiyle,
83! / 14n
işleminin sonucunun tabii sayı olması için, n' nin en büyük kıymeti kaç olmalıdır?
Cevap:
14 = 2 . 7 olduğundan, 83! in içinde kaç tane 7 çarpanı var ise, n' nin en büyük kıymeti odur. Bu sebeple,
83 = 7.11 + 6, 11 = 7.1 + 4 olduğundan, n' nin alabileceği en büyük kıymet
11 + 1 = 12 olur.
Örnek 8: m ve n ardışık çift tabii sayılardır. m > n olmak suretiyle,
ise, n kaçtır?
Cevap: m > n koşuluna bakılırsa, n = 2k ve m = 2k + 2 olsun.
Örnek 9: 1! + 2! + 3! + ... + 843! toplamı hesaplandığında birler basamağındaki sayı kaç olur?
Cevap:
Her terimi tek tek hesaplayalım.
1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, ...
5! ve 5! den büyük sayıların birler basamağı 0 olacağından, bu tarz şeyleri göz önüne almaya gerek kalmamıştır. Bundan dolayı, 5! den önceki sayıların toplamını alıp 10' a bölmeliyiz. Bu durumda, kalan birler basamağını verecektir.
1 + 2 + 6 + 24 = 33 olur ve Kalan 33 = 10.3 +3 vardır.
Bu sebeple, birler basamağı 3 tür.
Örnek 10: 8! + 9! + 10! toplamı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez?
a) 750 b) 625 c) 250 d) 125 e) 10
Cevap:
8! + 9! + 10! = 8! . (1 + 9 + 10.9) = 8! . 100 =8! . 102 = 8! . (2.5)2 = 8! . 22 . 52
8! de 1 tane 5 olduğundan, tüm toplamda 3 tane 5 mevcuttur. Bu sebeple, 625 = 54 olduğundan, toplam 625 ile bölünemez.
Sebep: İçerik Tanzim etme
20 tane faktöriyelli sayılardan sual çözümlü hazırlarsanız süper olurrr...
10! - 9! işleminin sonucu nedir?
Bilgi nedir, bilginin anlamı hakkında bilgi verir misiniz?
Limited şirket yetkililerinin yapabileceği işlemler hakkında bilgi verir misiniz?
Vergi dairelerinde meydana getirilen işlemler hakkında bilgi verir misiniz?
YORUMLAR