Gödel'in Eksiklik Teoremi Gödel'in çağdaşı olan ünlü matematikçi Hilbert, matematikteki tüm ispatların, belirgin bir yöntemle, kısac...
Gödel'in Eksiklik Teoremi
Gödel'in çağdaşı olan ünlü matematikçi Hilbert, matematikteki tüm ispatların, belirgin bir yöntemle, kısaca aksiyomatik bir sistem vasıtasıyla, elde edilebileceğini düşünüyordu ve bu doğrultuda oluşumlarına başladı. Temel aritmetikteki tüm doğruları, aksiyomlarından türetebilirse, matematikteki tüm doğruları da bu aksiyomlardan elde edebilecekti.
Gödel bunun olanaksızlığını gösterdi. Bu durumu özetlemek gerekirse şu şekilde yapmış oldu: Bu önerme ispatlanamaz ifadesini (G) aritmetik sisteminde formülize etti. Aynı şekilde G ifadenin değilini (Bu önerme ispatlanabilir) de formülize etti. Bir süre sonra, G ifadesinin aritmetik olarak doğruluğu hesaplanabilirse, G ifadesinin değilinin de doğruluğunun hesaplanabileceğini gösterdi. Ve Gödel buradan şu iki sonuca varmıştır:
Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistem tutarlı (consistent) ise eksiksiz (complete) değildir.
Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistemin tutarlılığını sistemin kendi içinden (sistemin kendi formüllerini ve işlemlerini kullanarak) ispatlamak mümkün değildir.
İşin garip tarafı, bu G ifadesi sistemin içine bir aksiyom olarak yerleştirilse dahi, yeni bir Gödel cümlesi çıkartılabilir. Şu demek oluyor ki ne kadar aksiyom eklersek ekleyelim, bu şekilde bir sistemde doğruluğu ya da yanlışlığı ispatlanamayacak bir Gödel cümlesi bulunacaktır.
YORUMLAR