ÖZYETERLİLİK a. Mant. 1. Çelişik olmayan, yani içinde F ve F-Değil'in iki teorem oluşturdukları bir F formülü bulunmayan bir ku...
ÖZYETERLİLİK a. Mant.
1. Çelişik olmayan, yani içinde F ve F-Değil'in iki teorem oluşturdukları bir F formülü bulunmayan bir kuramın özelliği. Bu durum, bir teorem olmayan bu kuramın Dilinin en azından bir kapalı formülü olduğu anlamına gelir. (Bu durumda K kuranının tamamen özyeterli olduğu söylenir.) [Bk. ansikl. böl.]
2. Dış özyeterlilik, içinde bir teorem olumsuzlamasının sonlucu yöntemlerle hiç bir olduğunu, yani örneğin 0*0 gibi bir formülün bu belitlerden yola çıkarak tanıtlanabilir olmadığını kanıtlamak gerekir Özyeterlilık tanıtlamalarının çoğunda, bir K kuramının göreli özyeterliliği saptanmakta; K nin ilk simge ve terimleriyle, birinciden daha "güvenli" kabul edilen bir başka K' kuramının simgeleri birleştirilerek, K nin K' ne bu çevirisi aracılığıyla, eğer K de bir çelişki ortaya çıkacak olursa, bu çelişkinin K' de de ortaya çıkacağı tanıtlanmaktadır. Hil- bert, Grundlagen der Geometrie (Geometrinin temelleri) [1899] adlı yapıtında, klasik gerçek sayılar kuramı tutarlı sayılırsa, kendisi tarafından belitlenen geometrinin de tutarlı olduğunu göstererek, bu tür bir özyeterlilik tanıtlaması yaptı. Ama bu durumda, sonsuz bir yakıştırma sözkonusu olmadıkça, özyeterliliği göreli olarak değil, mutlak olarak temellendirilen bir matematik kuramın var olması gerekiyordu ve XIX. yy. sonunda çözümlemenin aritmetikleştirilme süreci bu kuramın, özyeterliliği bir başka kurama dayanarak temellendirilemeyen aritmetik olduğunu ortaya koydu.
Bazıları (özellikle Poincare) bundan, aritmetiğin ve yararlandığı akılyürütmelerin (örneğin tümevarım) son derece ilkel bir nitelik taşıdıkları ve aritmetiği her türlü temellendirme girişiminin, kaçınılmaz olarak bir kısır döngüye yol açacağı sonucunu çıkardı.
Hilbert okuluysa tersine, aritmetik üzerine sonlucu (yani yalnızca devşirimsel tipte ve gerçekleşmiş sonsuza başvurmayan ilksel akılyürütmeler kullanan) bir özyeterlilik tanıtlaması yapmaya girişti. Bu yolda bazı kısmi sonuçlara ulaşıldı, Ackermann, von Neumann ve Herbrand, Peano aritmetiğindeki bazı alt-sistemlerin özyeterliliği tanıtladılar.
Bununla birlikte Gödel'in vardığı bir temel sonuç, ilksel matematiği biçimselleştirebilecek kadar güçlü bir biçimsel sistemin özyetertilığina bu biçimsel sistem kpinde biçimselleştirilebilen araçlar ve akılyürütmelerle erişilemeyeceğini ortaya koyarak, Hilbert'in umutlarına bir son verdi. Gerçekten de matematik bir kuramın özyeterliliği saptamak için, sözkonusu kuramda geçerlikte olan akılyürütmelerden daha “güçlü" akılyürütmeler kullanmak gerekiyordu. 1930'dan başlayarak Gentzen, Ackermann, Schütte ve Lorenzen, aritmetik üzerine özyeterlilik tanıtlamaları yaptılar. Bu tanıtlamalar, ilksel matematikte biçimselleştirilebilir olmamakla (öyleyse “sonlucu†olmamakla) birlikte her şeye rağmen belli bir kurucu özellik gösteren akılyürütmelere dayanıyordu. Günümüzde özyeterlilik tanıtlamalarına gösterilen ilgi, biraz nitelik değiştirdi ve bu tanıtlamalarda kurucu yöntemler kullanmakla yetinildi ve böylece bir "güvenlik†idealine erişmekten çok basit özyeterlilikten daha işlenmiş ve ince bazı sonuçlara varılmak istendi.
Kaynak: Büyük Larousse
1. Çelişik olmayan, yani içinde F ve F-Değil'in iki teorem oluşturdukları bir F formülü bulunmayan bir kuramın özelliği. Bu durum, bir teorem olmayan bu kuramın Dilinin en azından bir kapalı formülü olduğu anlamına gelir. (Bu durumda K kuranının tamamen özyeterli olduğu söylenir.) [Bk. ansikl. böl.]
2. Dış özyeterlilik, içinde bir teorem olumsuzlamasının sonlucu yöntemlerle hiç bir olduğunu, yani örneğin 0*0 gibi bir formülün bu belitlerden yola çıkarak tanıtlanabilir olmadığını kanıtlamak gerekir Özyeterlilık tanıtlamalarının çoğunda, bir K kuramının göreli özyeterliliği saptanmakta; K nin ilk simge ve terimleriyle, birinciden daha "güvenli" kabul edilen bir başka K' kuramının simgeleri birleştirilerek, K nin K' ne bu çevirisi aracılığıyla, eğer K de bir çelişki ortaya çıkacak olursa, bu çelişkinin K' de de ortaya çıkacağı tanıtlanmaktadır. Hil- bert, Grundlagen der Geometrie (Geometrinin temelleri) [1899] adlı yapıtında, klasik gerçek sayılar kuramı tutarlı sayılırsa, kendisi tarafından belitlenen geometrinin de tutarlı olduğunu göstererek, bu tür bir özyeterlilik tanıtlaması yaptı. Ama bu durumda, sonsuz bir yakıştırma sözkonusu olmadıkça, özyeterliliği göreli olarak değil, mutlak olarak temellendirilen bir matematik kuramın var olması gerekiyordu ve XIX. yy. sonunda çözümlemenin aritmetikleştirilme süreci bu kuramın, özyeterliliği bir başka kurama dayanarak temellendirilemeyen aritmetik olduğunu ortaya koydu.
Bazıları (özellikle Poincare) bundan, aritmetiğin ve yararlandığı akılyürütmelerin (örneğin tümevarım) son derece ilkel bir nitelik taşıdıkları ve aritmetiği her türlü temellendirme girişiminin, kaçınılmaz olarak bir kısır döngüye yol açacağı sonucunu çıkardı.
Hilbert okuluysa tersine, aritmetik üzerine sonlucu (yani yalnızca devşirimsel tipte ve gerçekleşmiş sonsuza başvurmayan ilksel akılyürütmeler kullanan) bir özyeterlilik tanıtlaması yapmaya girişti. Bu yolda bazı kısmi sonuçlara ulaşıldı, Ackermann, von Neumann ve Herbrand, Peano aritmetiğindeki bazı alt-sistemlerin özyeterliliği tanıtladılar.
Bununla birlikte Gödel'in vardığı bir temel sonuç, ilksel matematiği biçimselleştirebilecek kadar güçlü bir biçimsel sistemin özyetertilığina bu biçimsel sistem kpinde biçimselleştirilebilen araçlar ve akılyürütmelerle erişilemeyeceğini ortaya koyarak, Hilbert'in umutlarına bir son verdi. Gerçekten de matematik bir kuramın özyeterliliği saptamak için, sözkonusu kuramda geçerlikte olan akılyürütmelerden daha “güçlü" akılyürütmeler kullanmak gerekiyordu. 1930'dan başlayarak Gentzen, Ackermann, Schütte ve Lorenzen, aritmetik üzerine özyeterlilik tanıtlamaları yaptılar. Bu tanıtlamalar, ilksel matematikte biçimselleştirilebilir olmamakla (öyleyse “sonlucu†olmamakla) birlikte her şeye rağmen belli bir kurucu özellik gösteren akılyürütmelere dayanıyordu. Günümüzde özyeterlilik tanıtlamalarına gösterilen ilgi, biraz nitelik değiştirdi ve bu tanıtlamalarda kurucu yöntemler kullanmakla yetinildi ve böylece bir "güvenlik†idealine erişmekten çok basit özyeterlilikten daha işlenmiş ve ince bazı sonuçlara varılmak istendi.
Kaynak: Büyük Larousse
YORUMLAR