Geometri derslerinde bilhassa ihtiyacımız olacak olan tek tek bilgi olan üçgen çizimleri hakkında bilgi. Üçgenler iyi mi çizilir şekilleri n...
Geometri derslerinde bilhassa ihtiyacımız olacak olan tek tek bilgi olan üçgen çizimleri hakkında bilgi. Üçgenler iyi mi çizilir şekilleri nedir?
Geometrinin mühim mevzularından biri de bazı elemanları verilen bir üçgeni çizmektir. Bu mevzuda o denli çok sorun vardır ki her birini çözmek için ayrı bir yol izlemekte fayda vardır. Her şeyden ilkin de normal olarak üçgenlerin özelliklerini çok iyi bilmek zorunludur. Bu bilinirse o süre üçgen çizimi kolay, zevkli bir eğlence olur.
Üçgen çizimi esnasında yalnız pergelle cetvel, kimi zaman de iletki kullanılır. ilkin herhangi bir üçgen çizeriz. Buna örnek üçgen denir. Bizlere verilen elemanları bu üçgen üstünde belirtiriz, ondan sonrasında aslolan üçgenin çizimine nereden başlayıp çizimi iyi mi yapacağımızı kestiririz. Tüm mesele malum elemanlardan, üçgenlerin özelliklerinden yararlanarak üçgenin bilinmeyen elemanlarını bulmaktır.
Örnek 1. — ha, c, b elemanları malum üçgeni çizin.
Çizim. — Ilkin, örnek üçgeni çizeriz. Bildiğimiz şeklinde ha yüksekliği a kenarına A köşesinden indirilen dikme anlamına gelir; şu demek oluyor ki ADC ve ADB üçgenleri birer dik üçgendir. Bu düşünceden yola çıkarak yatay bir doğru çizeriz. Bu, BC kenarını üstünde taşıyan doğrudur. Bunun üstünde herhangi bir nokta a-lırız, bunu D noktası kabul ederiz. D noktasından ilk aldığımız yatay doğruya bir dikme çıkarız, bu dikme üstünde pergelle h, yüksekliğini işaretleriz.
Bulduğumuz bu son nokta üçgenin A köşesidir. Şimdi B ve C köşelerini bulmaya sıra geldi. Pergelin sivri ayağını A köşesine koyarız, pergeli b kenarı kadar açıp, ilk çizdiğimiz yatay doğru ü-zerinde bir yay çizeriz. Bulduğumuz nokta C köşesi olur. Aynı şekilde pergeli c kenarı kadar açıp, D noktasının diğeri yanında da bir nokta işaretlersek B noktasını buluruz. Böylece bizlerden istenen ABC üçgeninin çizimi bitmiş olur.
Sağlamasını yapmak da kolaydır. Bakarsak görürüz ki, hakkaten, çizdiğimiz üçgenin bir kenarı bizlere verilen b, diğeri kenarı gene bizlere verilen c uzunluğundadır. Öte taraftan üçgenin h, yüksekliği de gene bizlere verilen uzunluğa eşittir, öyleyse çizimimiz doğrudur.
Örnek 2. — b-c, C, B elemanları malum üçgeni çizin.
Çizim. — Burada görüldüğü şeklinde b ve c kenarlarının uzunluğu verilmemiştir, yalnız, iki kenarın farkını biliyoruz. Bir de C ve B açılarım bildiğimize bakılırsa üçgenin üçüncü açısı olan A’yı da biliyoruz anlamına gelir. Şu sebeple, bildiğimiz şeklinde, bir üçgenin iç açılarının toplamı 180° dir. B ile C’nin toplamını 180°’den çıkarırsak A açısını elde ederiz. Şimdi örnek üçgenimizi çizebiliriz artık.
örnek üçgen üstünde durumu inceleriz. C köşesinden başlayarak bizlere verilen b-c farkı kadar bir uzunluk alırsak D noktasını buluruz. ADB üçgeni ikizkenar bir üçgendir. Şu sebeple gerek AD, gerekse -AB kenarının uzunluğu c dir. İkizkenar üçgende, tabanın yüksekliği, kenar ortayı, açı ortayı hep aynı doğrudur, bunu da biliyoruz. O süre çizimi yapmamız epeyce kolaylaşır.
İkizkenar üçgenin başka bir özelliği de burada işimize yarayacaktır, ikizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir. Öyleyse, ABD açısı ile ADB açısı birbirine eşit olacaktır. Şu sebeple bunlar ABD ikizkenar üçgeninin taban açılarıdır. Çizimi şöyleki yaparız:
Bizlere verilen C açısını çizeriz. Açının üst kenarı üstünde b-c farkını alarak D noktasını buluruz. Şimdi gayemiz ilkin ABD üçgenini çizmektir. Öyleyse B köşesini bulmamız gerekir. ABD üçgeninin tepe açısını, şu demek oluyor ki A açısını bildiğimize bakılırsa, bu üçgenin taban açılarının toplamını da biliyoruz anlamına gelir (180° — A). ABD ikizkenar üçgen olduğuna bakılırsa taban açıları eşittir. 180° — A farkını ikiye böleriz, taban açılarını buluruz. D noktasından bulduğumuz açıyı alırız, kenarının m doğrusunu kestiği nokta B noktasıdır.
Şimdi sıra A noktasını bulmaya gelmiştir. Bu noktayı iki yolla bulabiliriz:
1. — ABD ikizkenar üçgen olduğuna bakılırsa BD tabanının ortasından çıkacağımız dikmenin CD doğrusunu kestiği nokta A noktası olacaktır.
2. — B köşesini ve aslolan üçgenin B açısını biliyoruz, BC doğrusundan B açısı kadar alır, kenarını uzatırsak gene CD doğrusuyla kesim noktasında A köşesini buluruz.
Örnek 3. — a, b, B elemanları malum üçgeni çizin.
Çizim. — Aslında bu çizim, diğeri örneklerimize oranla daha kolaydır. Sadece başka özellikler taşımış olduğu için seçilmiştir. Bizlere verilen B açısını alır, kenarlarını uzatırız. Alt kenarı üstünde pergelle a kadar alırız. Böylece C noktasını buluruz. İlk aldığımız açının köşesi de B noktasıdır esasen. Sonrasında pergelimizi b kadar açar, sivri ucunu C noktasına koyar bir yay çizeriz. Bu gösterim ilk aldığımız açının üst kenarını kestiği nokta A’dır. öyleyse aradığımız üçgen çizilmiştir.
Sadece, gördüğümüz şeklinde C’den çizilen yay açının üst kenarını iki noktada keser: A ve A’. Acaba A’BC üçgeni aradığımız üçgen olması imkansız mı? Araştıralım bakalım. ABC üçgeninde bizlere verilen üç eleman (a, b, B) ölçülerine uygundur. Öyleyse ABC üçgeni çizmeye çalıştığımız üçgendir. A’BC üçgeninde de üç eleman (a, b, B) bizlere verilen ölçülerdedir. Öyleyse A’BC üçgeni de çizmeye çalıştığımız üçgendir. Demek ki bu problemin iki çözümü vardır: ABC ve A’BC üçgenleri. İki üçgen de aranan üçgendir.
Bu iki üçgenin üçer elemanları eşittir: İki kenarları ile bir açıları. İlk bakışta bu iki üçgenin eşit jlması gerektiği de düşünülebilir bir ihtimal fakat, kati olarak görüyoruz ki bu iki üçgen eşit değildir. Burada da K.K.A. eşitlik kuralının doğruluğunu bir kez daha görmüş oluruz. Bu iki üçgende büyük kenarın (BA ve BA’) karşısındaki C ve C’ oluşturulan eşit olmadığı için üçgenler eşit değildir. Şu sebeple bildiğimiz şeklinde K.K.A. kuralına bakılırsa, iki üçgenin eşit olması için büyük kenarlar karşısındaki açıların eşit olması gerekir.
YORUMLAR