Alan Nedir

Alan, bir yüzeyin kapladığı yer miktarını ölçen bir büyüklüktür. SI birim sisteminde temel alan birimi m²'dir (metrekare). Diğer alan b...

Alan, bir yüzeyin kapladığı yer miktarını ölçen bir büyüklüktür. SI birim sisteminde temel alan birimi m²'dir (metrekare). Diğer alan birimleri bundan türetilebilir:

Ar = 100 metrekare (m²)
Dekar = 1000 metrekareye (m²)
Hektar = 10,000 metrekare (m²)
Kilometrekare = 1,000,000 metrekare (m²)

---

ALAN ÖLÇÜLERİ
Günlük hayatımızda çeşitli yüzeyleri ölçmek için kullanılan ölçülere, alan ölçüleri denir. Alan ölçüleri de metre sistemine göre düzenlenmiştir.
Alan ölçüleri birimi metrekare‘dir. Bir metrekare, bir kenarı bir metre uzunluğunda olan bir karenin alanıdır.

Metrekarenin katları ve askatları vardır. Metrekarenin katları yüzer yüzer büyür, askatları yüzer yüzer küçülür.

Metrekarenin askatları:
Bir metrekareden daha küçük yüzeyler, metrekarenin askatları ile ölçülür. Metrekarenin askatları, bir metrekarenin 100, 10.000, 1.000.000 eşit parçaya bölünmesiyle elde edilmiştir.
1. Desimetrekare:
Bir kenarının uzunluğu 1 dm olan karenin alanına, 1 desimetrekare denir.


2. Santimetrekare:
Bir kenarının uzunluğu 1 cm olan karenin alanına, 1 santimetrekare denir.Bir desimetrekarenin yüz defa küçüğüdür.


Bir desimetrekarenin içinde ise, 100 santimetrekare vardır.
3. Milimetrekare:
Bir kenarının uzunluğu 1 mm olan karenin alanına, 1 milimetrekare denir.Bir santimetrekarenin yüz defa küçüğüdür.

Bir santimetrekarenin içinde 100 milimetrekare vardır. Bir desimetrekarede 10.000, bir metrekarede 1.000.000 milimetrekare vardır.

Metrekarenin Katları:
1. Dekametrekare:
Bir kenarının uzunluğu 1 dam olan karenin alanına, 1 dekametrekare denir.1 metrakarenin 100 kat büyüğüdür.

2. Hektometrekare: Bir kenarı 100 metre olan bir karenin alanına 1 hektometrekare denir. Bir hektometrekare içinde 100 dekametrekare, 10.000 metrekare vardır.

3. Kilometrekare : Bir kenarı 1.000 metre olan bir karenin alanına kilometrekare denir. Bir kilometrekare içinde 100 hektometrekare, 10.000 dekametrekare, 1.000.000 metrekare vardır.

Click here to view the original image of 669x277px and 24KB.

Alan ölçüleri, hangi birime göre yazılacaksa, o birimi gösteren tam sayı yazılır, sonra sağına bir virgül konur. Bundan sonra da askatları, çift rakamlar halinde yazılır Sayının sağına da o birimin kısaltılması konur. Okunuşta, her basamak, kendi birimlerine göre okunur.
ÖRNEK:


ALAN ÖLÇÜLERİNİN BİRBİRİNE ÇEVRİLMESİ
Alan ölçüleri, herhangi bir alan ölçüsü birimine çevrilerek yazılabilir. Alan ölçülerinden verilen sayıyı başka bir birime çevirmek için, bu birimin, ilk birimin katı ya da askatı olup olmadığına bakılır. Çevrilmek istenin birim, çevrilecek birimin askatı ise, virgül o kadar basamak sağa alınır. Katı ise virgül o kadar basamak sola alınır. Virgül iki basamak sağa alınınca, önceki birim, kendinden bir küçük olan birime çevrilmiş olur. Virgül iki basamak sola alınınca önceki birim, kendinden bir büyük büyük birime çevrilmiş olur.
ÖRNEK:


ARAZİ ÖLÇÜLERİ
Bağ, bahçe, tarla gibi yerler arazi ölçüleri ile ölçülür.Arazi ölçüleri ar, dekar ve hektardır.
Ar : Metrekarenin 100 katı olan ölçü birimidir. “a” sembolüyle gösterilir.1 ar, 1 dekametrekarelik bir alana eşittir.

Dekar : Metrekarenin 1000 katı olan ölçü birimidir. “daa” sembolüyle gösterilir.Yaklaşık olarak 1 dekara 1 dönüm denir.

Hektar : Metrekarenin 10 000 katı olan ölçü birimidir. “ha” sembolüyle gösterilir.

Arazi ölçüleri onar onar büyür, onar onar küçülür.
Büyük birimler küçük birimlere çevrilirken her basamak inişte 10 ile çarpılır.
Küçük birimler büyük birimlere çevrilirken her basamak çıkışta 10 a bölünür.
ÖRNEK:


DÜZLEMSEL BÖLGELERİN ALANLARI:
Karesel Bölgenin Alanı:

Dikdörtgensel Bölgenin Alanı:


Aşağıda verilen şeklin alanını bulalım.
Click here to view the original image of 691x174px and 15KB.

Üçgensel Bölgenin Alanı:
Dik üçgenin alanı; taban kenarı ile yüksekliğinin çarpımının ikiye bölünmesi ile bulunur.
Click here to view the original image of 510x348px and 22KB.

ÖRNEK:

Çözüm:
Renkli alan ABCD dikdörtgeninin alanından AFC ve FBE üçgenlerinin alanları toplamının çıkarılması ile bulunur.Yani

Buna göre ABCD dikdörtgeninin alanı;
AC x AB dir.
AC = 7 cm AB = 3 + 8 = 11 cm
7 x 11 = 77 santimetre kare olur.
ACF üçgeninin alanı :

FBE üçgeninin alanı:

İki üçgenin alanlarını toplayıp, dikdörtgenin alanından çıkarırız.


KÜPÜN ALANI
Bir küpün açılımını kareli zemine yerleştirelim.

Yukarıdaki küpün alanı görüldüğü gibi 6 birim karedir.
ÖRNEK:
Bir ayrıtının uzunluğu 12 dm olan bir küpün alanı kaç santimetre karedir?
Çözüm:
Bir küpte 6 tane kare şeklinde yüz vardir.
a= 8 dm = 80 cm olur.
Karenin alanı a x a olduğundan 80 x 80 = 6400 (bir karenin alanı)
6400 x 6 = 38 400 santimetrekare (küpün alanı)
ÖRNEK:
Alanı 150 santimetrekare olan küpün bir kenarının uzunluğu kaç cm olur?
Çözüm:
Küpün birbirine eşit 6 yüzü olduğundan verilen alanı önce 6′ya böleriz.
150:6=25
a x a =25 ise
a = 5 cm olur. (ayrıt uzunluğu)

DİKDÖRTGENLER PRİZMASININ ALANI:
Bir dikdörtgenler prizmasının açılımını kareli zemine yerleştirelim.

Yukarıdaki dikdörtgenler prizmasının alanı 62 birim karedir.
Bir dikdörtgenler prizmasında 2′şer 2′şer eş olmak üzere 3 çeşit dikdörtgen bulunur.
ÖRNEK:
a = 5 cm
b = 2 cm
c = 8 cm olan dikdörtgenler prizmasının alanı kaç santimetrekaredir?
A = 2(axb) + 2(axc) + 2(bxc)
A = 2(5×2) + 2(5×8) + 2(2×8)
A = (2×10) + (2×40) + (2×16)
A = 20 + 80 + 32
A = 132 santimetrekare (prizmanın alanı)

KARE PRİZMANIN ALANI:
Bir kare prizmanın açılımını kareli zemine yerleştirelim.

Yukarıdaki prizmanın alanı 10 birim karedir.
ÖRNEK:
Taban ayrıtı 7 cm ve yüksekliği 12 cm olan prizma şeklindeki bir kutuyu kaplamak için ne kadar kağıt gerektiğini bulunuz.
Çözüm:
Prizmada kare şeklinde 2 tane taban ve dikdörtgen şeklinde 4 tane yanal yüz olduğundan;
A = 2(a x a) + 4(a x h(b)) dir.
a= 7 cm
h(b) = 12 cm verilmiş.Verilenleri yerlerine yerleştirirsek
A = 2(7×7) + 4(7×12)
A= (2×49) + (4×94)
A = 98 + 376
A = 474 santimetrekare olur.

ALIŞžTIRMA:
Aşağıda verilen blokun yüzey alanını hesaplayınız.

Üstteki prizma ölçülerinden de anlaşılacağı gibi bir küptür.Sadece alt tabanı, alttaki prizmaya çakıştığı için hesaplanması gereken 5 yüzü vardır.Bu nedenle
5(a xa)
5(4 x4)= 5 x 16= 80 (üstteki küpün alanı)
Altta verilen dikdörtgenler prizmasının boyutları
a=9 cm
b=3 cm
c=4 cm olur.(c kenarı aynı zamanda küpün kenar uzunluğudur.)Buna göre
2(axb) + 2(axc) + 2(bxc) prizmanın alanını verir.
2(9×3) + 2(9×4) + 2(3×4)=
2×27 + 2×36 + 2×12=
54 + 72 + 24=150 santimetrekare(tüm alan olur.)
Ancak küpün oturduğu alanı tüm alandan çıkarırsak
150 - (4×4) =
150 - 16 =134 (dikdörtgenler prizmasının alanı)
Blokun alanı = küp +dikdörtgenler prizması
Blokun alanı = 80 + 134 = 214 santimetrekaredir.

Yukarıda küplerden meydana gelmiş olan blokun alanını hesaplayalım.
a = 5 cm
1 numaralı küpün sadece alt tabanı görünmüyor.Yani 5 yüzün alanı hesaplanacak.Bir yüzün alanı 5×5 = 20
5 yüzün alanı 20 x 5 = 100 santimetrekare(1 nolu küpün alanı)
2 numaralı küpün alt ve üst tabanları ile bir yan yüzü görünmüyor.Dolayısı ile 3 yüzünün alanı hesaplanır.
3 x 20 = 60 santimetrekare(2 nolu küpün alanı)
3 numaralı küpün alt tabanı ve 1 yan yüzü görünmüyor.Dolayısı ile 4 yüzünün alanı hesaplanır.
4 x 20 = 80 santimetrekare(3 nolu küpün alanı)
4 ve 7 numaralı küplerin sadece birer yan yüzleri çakışık olduğundan 5′er yüzleri hesaplanır.
5 x 20 = 100
2 x 100 = 200 santimetrekare(4 ve 7 nolu küplerin toplam alanı)
5 ve 6 numaralı küplerin de üst taban ve 2′şer yanal yüzleri çakışık olduğundan 3′er yüzlerinin alanı hesaplanır.
3 x 20 = 60
2 x 60 =120 santimetrekare(5 ve 6 nolu küplerin toplam alanı)
En son olarak tüm küplerin alanlarını toplarız.
100 + 60 + 80 + 200 + 120 = 560 santimetrekare