Modüler aritmetik nedir, nasıl hesaplanır, özellikleri. Örneklerle modüler aritmetik konu anlatımı MODÜLER ARİTMETİK a, b sıfırdan farklı ta...
Modüler aritmetik nedir, nasıl hesaplanır, özellikleri. Örneklerle modüler aritmetik konu anlatımı
MODÜLER ARİTMETİK
a, b sıfırdan farklı tamsayılar ve b>0 olmak üzere, a sayısını b ye bölmek demek, a = m.b+k, 0≤k
Bazı tam sayıların 3 ile bölme işlemini inceleyelim.
Sonuç: 3 ile bölümden kalanların 0,1,2 tamsayılardan biri olduğu görülüyor. Demek ki bir sayı 3 ile bölündüğünde 0,1,2 kalanlarını verir. Aşağıdaki kümeyi inceleyelim:
$latex displaystyle begin{array}{l}overline{0}=left{ ….,-9,-6,-3,0,3,6,…. right}\overline{1}=left{ ….,-8,-5,-2,1,4,7,…. right}\overline{2}=left{ ….,-7,-4,-1,2,5,8,… right}end{array}$
Burada; bir kümedeki her elemanın 3 ile bölümünden kalanın aynı olduğu, her kümedeki iki elemanın farkının 3 ile bölündüğünü ve bu kümelerin ayrık olup, birleşimlerinin de Zyi verdiğini görüyoruz.
Bu kümelerin z de
$latex displaystyle beta =left{ left( x,y right)left| left. 3 right|x-y right. right}$ bağıntısının denklik sınıfı oluşturduğunu biliyoruz.
$latex displaystyle left. 3 right|left( x-y right)$ nin anlamı x-y = 3m (m∈Z) dir. Bu durum x = y (mod 3) yazılır ve “x’ denktir y modül 3” diye okunur.
$latex displaystyle begin{array}{l}x=3m+k,0le k<3(k:Kalan)\x-k=3mLeftrightarrow xequiv k(bmod 3)end{array}$
biçiminde yazılır. Bu ifade x ile k nın aynı denklik sınıfında olduğunu gösterir. Bu denklik sınıfı $latex displaystyle k$ ile gösterilir ve
$latex displaystyle overline{k}=left{ x:x=3m+k;m,kin z,0le k<3 right}$
Tanım: a ve k tam sayıları ve m> o tamsayısı verilsin.
a-k farkı m ile tam bölünüyorsa, m modülüne göre a, k ya denktir denir ve a ≡ k (mod m) yazılır.
Yani, $latex displaystyle frac{a-k}{m}=bin zLeftrightarrow aequiv k(bmod m)$
Örnek: 3 Ι11-2 olduğundan
11 ≡ 2 (mod 3)
5 Ι12-(-3) olduğundan 12 ≡ -3 (mod 5)
5 Ι(-17)-(13) olduğundan
-17 ≡ 13 (mod 5)
3 modülüne göre kalan sınıfların kümesi Z/3,4 modülüne göre
Z/4, ……..m modülüne göre Z/m biçiminde gösterilir. bunlar,
$latex displaystyle begin{array}{l}Z/3=left{ overline{0},overline{1},overline{2} right}\Z/4=left{ overline{0},overline{1},overline{2},overline{3} right}\——————–\Z/m=left{ overline{0},overline{1},overline{2},…..left( overline{m-1} right) right}end{array}$
Tanım:
Z/m kümesinin elemanlarına kalan sınıfları denir.
Uyarı: Z/m de toplama ve çarpma işlemlerinin değişme özeliği vardır.
Örnek: x ≡ 3 (mod5) ise x sayılarının kümesini bulunuz.
x ≡ 3 (mod5) <=> 5I x-3 => x -3 = 5k, k∈ Z => x = 3 +5k olur.
YORUMLAR