Arı peteğindeki mimari, arıların bal yaptıkları petekler hangi geometrik şekle haizdir? Arı peteklerinin geometrik şekli nedir? A...
Arı peteğindeki mimari, arıların bal yaptıkları petekler hangi geometrik şekle haizdir?
Arı peteklerinin geometrik şekli nedir?
Arı peteklerinin geometrik şekli nedir?
Arı peteklerinin geometrik şekli altıgendir. Arılar, hem bal mumundan tutum etmek hem de mümkün olan en geniş alanı kullanabilmek için altıgen peteği kullanırlar. Eğer petek şekli kare ya da başka bir geometrik biçim olsaydı daha çok bal mumu kullanılmış olurdu!
Sebep: İç başlık ve sual düzeni!!
Osmanlı dönemindeki geometrik şekillerin isimleri nedir?
Arı, örümcek ve kuşlardan başka hangi hayvanlar geometrik şekiller yaparlar?
Kraliçe arı sendromu nedir?
İnceleyiniz
Bal peteğinin enteresan mimarisi tarih süresince insanların ilgisini çekmiştir. Yan yana altıgenlerden oluşan bu yapı, son aşama duyarlı olup averaj duvar kalınlıkları 0,1 mm'dir. Bu averaj değerden sapma ise, en fazla 0,002 mm kadardır. Peteklerin inşasında uyulan geometri kaidelerinin ne aşama ideal bulunduğunu anlayabilmek için, matematikî bir nazar açısına haiz olmak gerekir. 
Daire, belirgin bir durağan alanı çevreleyen en kısa kenar uzunluğuna haiz geometrik şekildir. Meselâ alanı 10 cm2 olan kare ve dairenin çevre uzunlukları karşılaştırıldığında, dairenin çevresinin daha kısa olduğu görülür. Fakat bal peteğinin inşasında vaziyet tam olarak bu şekilde değildir. Burada bal peteğinin geniş çerçevesi, eşit ve daha minik alanlara bölünecektir ve bölme işleminde minimum çevre uzunluğuna haiz biçim kullanılacaktır. Çerçeveyi, eşit alanlara haiz minik daireler şeklindeki peteklere bölmek istersek, yukarıda ifade edildiği şeklinde en kısa kenar özelliği sağlanacak, fakat dairelerin kenarları içinde kalan boşluklar için daha çok mum harcanmış olacaktır.

Oysa bu problemi, en kısa kenar uzunluğu ve minimum malzemeyle (mum) çözmek için geometri prensiplerine müracaat ettiğimizde, peteklerin bölünmesinde çokgenlerin kullanılması gerektiği görülecektir. Kenar sayısı n olan aynı alana haiz çokgenler düşünelim. Bunların içinde en kısa çevre uzunluğuna haiz olanı düzgün n-gendir. Düzgün ile kastedilen, tüm kenarları ve iç açıları eşit olandır. Bu tip bir çokgen, daima bir dairenin içine çizilebilir ve çokgenin köşeleri çemberin çevresi üzerindedir. Bu şekilde bir yapının ideal daire şekline yakın olmasından dolayı çevre uzunluğu minimum olmaktadır. Meselâ eşit alanlı üçgenler içinde en kısa çevre uzunluğu eşkenar üçgende, dörtgenler içinde en kısa çevre uzunluğu ise karede elde edilir. Benzer şekilde beşgen ve altıgenler kendi aralarında kıyaslanırsa, en kısa çevre uzunluğu düzgün beşgen ve altıgende elde edilebilir.
Akla gelebilecek ilk sual, belirgin bir alanı bölerken hangi düzgün çokgeni kullanmamız gerektiğidir. Bir daire ve içine çizilmiş n kenarlı bir düzgün çokgenin bir bölümü Biçim 1'de gösterilmiştir. Şekilden de görülebileceği şeklinde çokgenin bir iç açısı 180-360/n derecedir. Verilen bir geniş alanı minik alanlara bölmek istediğimizde, komşu çokgenlerin birbirlerine tam oturması ve aralarında boşluk kalmaması gerekir. Bunun olabilmesi için birbirine yaslanan komşu çokgen köşelerine ait iç açıları toplamı 360 aşama olmalıdır (Biçim 2). Başka bir ifadeyle bir iç açının tam sayı bir katı 360 aşama olmalıdır. N komşu iç açıların adedini temsil etmek suretiyle, bu durumda alt taraftaki denklemi yazabiliriz (N tamsayıdır): 
N (180 - 360 / n ) = 360. 
Buradan N çözülürse
, N = 2n / (n-2)= 2 + 4 / (n-2) 
ifadesi elde edilir. Sağlamak istediğimiz, hangi kenar sayısı n için, N kıymeti tamsayı olmaktadır. Tamsayı değerleri, bir tek n = 3, 4 ve 6 için elde edebiliriz ve 6'dan büyük hiçbir sayı için tamsayı elde edilemez. Doğrusu bir alanı boşluksuz bölmek istersek, ya üçgen, ya dörtgen ya da altıgen kullanmalıyız. Kenar sayısı 6'dan fazla olan düzgün bir çokgen ile boşluksuz bölme mümkün değildir. Benzer şekilde düzgün beşgenler de uygun bir cevap değildir. Biçim 3'te üç düzgün beşgenin yan yana getirilmesi ile 36O aşama açılı boş bir alan ortaya çıkmıştır. Oysa altıgenler boşluksuz yan yana getirilebilirler (Biçim 4). Bununla birlikte eşit alanlı üçgen, dörtgen ve altıgen birbiri ile karşılaştırıldığında, minimum çizgi uzunluğu altıgende olmaktadır. Dolayısı ile minimum balmumu sarfiyatı böylece bölme kullanılarak elde edilebilir.
Matematikçiler bununla birlikte, kenarları doğru olmayan, eğri olan çokgenlerin daha iyi olup olmadığını da araştırdılar. Kenar eğri olunca, bir çokgende dışbükey biçim elde edilirken komşu çokgende ister istemez içbükey biçim elde edilmektedir. Dışbükey eğri ile elde edilmiş pozitif yanları (daire parçasına daha çok benzemesinden dolayı) içbükey eğriden gelen daha çok dezavantaj yok etmekte ve net olarak bir kazanç elde edilememektedir. 'nden Thomas Hales, 1999'da tartışmalara son noktayı koydu ve bir alanı eşit minik alanlara ayırmak istediğimizde, en ideal şeklin düzgün altıgen bulunduğunu ispatladı. Her ne kadar altıgen şeklin, ideal bir biçim olduğu uzun süreden beri belirtilse de, bunun sağlam bir matematik ispatı yapılamamıştı. 1999'da ispatını ama yapabildiğimiz bir çözümü, arıların milyonlarca senedir şaşırmadan Sevk-i İlâhî ile uygulamaları, Allah'ın ilhâmından başka ne olabilir ki? Şâyet arıların petek inşa teknikleri ilk yaratıldıkları dönemden bu yana evrimleşerek gelseydi, fosil kayıtlarında, altıgen haricinde başka geometrik şekillere de rastlanması gerekirdi. Oysa başka bir şekildeki bal peteğinin kullanıldığına dair ipucuna rastlanmamıştır. Bizzat bal peteğini, işçilik ve balmumunu muhteşem ekonomize eden bir mühendislik harikası olarak tanımlamıştır.

Şimdiye kadar probleme iki boyutlu baktık. Fakat bal peteği üç boyutlu bir cisim olup altıgen prizma şeklindedir. Altıgen prizma şeklindeki petekler iki katman hâlinde olup, bir uçları açık, başka kapalı uçları ise sırt sırta yerleştirilmiştir (Biçim 5). Çerçeve yere dik gelecek şekilde yerleştirildiğinde, prizmalar yatay ile 13O'lik bir eğim açısı meydana getirecek şekilde inşa edilmiş olurlar ve bu açı balın akmaması için kafi olan en minik açıdır. Acaba peteğin kapalı ucunda minimum balmumu sarfiyatı için nasıl bir geometri olmalıdır? 1964'te matematikçi , en ideal kapatmanın iki altıgen ve iki kare ile sağlanabileceğini gösterdi (Biçim 6a). Arılar ise çok az değişik olarak üç eşkenar dörtgenle kapatma yapmaktaydılar (Biçim 6b). Eşkenar dörtgenlerin iç açıları 70,5O ve 109,5O olup, üç eşkenar dörtgen çatısı şekli için en ideal matematik çözümü vermektedir. Görünüşte arıların uygulamasında iki altıgen ve iki kareye bakılırsa alanda % 0,035'lik çok minik bir yitik olmaktaydı. Fakat gözden kaçırılan bir nokta vardı, o da hesaplamalarda duvar kalınlığı son aşama ince alınıyordu.
Araştırmacılar, Toth'un matematik modelini deneyim etmek suretiyle sıvı hava köpüğü kullandılar. İki cam arasına, iki katman olacak şekilde 2 mm ölçekli kabarcıklara haiz deterjan çözeltisi pompaladılar. Camlarla temas eden kabarcıklar altıgen yapılara dönüştü. Ortada iki tabakanın sınırında ise Toth'un öne sürdüğü iki altıgen ve iki kare şeklindeki yapı oluştu. Kabarcık duvarları çok az kalınlaştırıldığında ise, enteresan bir vaziyet ortaya çıktı ve yapı aniden arılarda olduğu şeklinde üç eşkenar dörtgen yapısına dönüştü.
bir kovanda ne kadar petek olur ve bu petekte ne kadar bal olur?
petekler kare olsaydı bal miktarında nasıl değişme olurdu?
[arılar dünyayı altıgen görüyorlar o yüzden altıgendir]}Aslan Can Yaşar 119 7/A kABATAŞ/oRDU
arıların türleri, bir arı kovanında ne kadar petek olur bunlardan biride ne kadar bal çıkar geometrikolarakpetekler kare şeklinde olsaydı ne olurdu
geometrik olarak petekler kare olsaydı bal miktarındaki değişiklik ne yönde ne kadar olurdu?
arı petekleri hangi geometri şekline benzerler
(çok acil bilgi)
dostlar bir petek kare şeklinde olsaydı bal miktarı nasıl değişirdin lütfen cavap verin
petekler hangi geometrik şekle benzer?acil yazınız
Osmanlı dönemindeki geometrik şekillerin isimleri nedir?
Arı, örümcek ve kuşlardan başka hangi hayvanlar geometrik şekiller yaparlar?
Kraliçe arı sendromu nedir?
YORUMLAR