Sonsuz TDK, Türk Dil Kurumu ödat 1 . Sonu olmayan, bitmeyen, ebedî: "Seninle arkadaşlığımız sonsuz olacak."- M. Yesa...
Sonsuz
TDK, Türk Dil Kurumu
ödat
1 . Sonu olmayan, bitmeyen, ebedî:
2 . Ölçülemeyecek kadar çok ya da büyük olan:
3 . Çok:
4 . Birçok:
5 . (isim) Sonu ve sınırı olmayan şey.
6 . (matematik) Sonu olmayan, her niceliği aşabilen değişken (nicelik).
Birleşik Sözler
TDK, Türk Dil Kurumu
1 . Sonu olmayan, bitmeyen, ebedî:
"Seninle arkadaşlığımız sonsuz olacak."- M. Yesari.
2 . Ölçülemeyecek kadar çok ya da büyük olan:
"Şu sonsuz mavilikte var mıydı onun eşi? / Kim söndürebilirdi o görkemli güneşi?"- E. B. Koryürek.
3 . Çok:
"İçimdeki ülkede bu ordu insanlarına karşı sonsuz bir sevgi ve minnet var."- R. E. ünaydın.
4 . Birçok:
"Müşteriler buradayken yaptıkları her şeyi, daha evvel bir çok kez yapmış olabilecekleri şeklinde daha sonsuz kez de tekrarlayabilirler."- E. Şafak.
5 . (isim) Sonu ve sınırı olmayan şey.
6 . (matematik) Sonu olmayan, her niceliği aşabilen değişken (nicelik).
Birleşik Sözler
sonsuz minik -ğü
isim, matematik
Sıfıra eşit olmamak şartıyla, herhangi bir sayıdan daha çok sıfıra yakın olabilen değişken.
Sonsuz Aşk
Sonsuz Serüven
Sonsuz
Sonsuz Nedir?
.Org Morpa Genel Kültür Ansiklopedisi
Sınırları olmayan şey. Bu yüzden çok vakit dinbilimde Tanrı ile bilimde evren ile özdeşleştirilir. Felsefede sonsuz kimi zaman bir gerçeklik kimi zaman bir olasılık olarak tasarlanmıştır. Aristoteles somut sonsuzu kavranılamaz bir şey olarak düşünüyordu. Kant, salt usun çatışkılarını tanımlarken sonsuzu kavramanın ve sonluyu tasarlamanın olanaksız bulunduğunu bildirdi. Gene de sonluluk sınırlılıkla ve geçicilikle, sonsuzluk sınırsızlıkla ve sürerlikle ilgili olarak düşünülebilir.
.Org Morpa Genel Kültür Ansiklopedisi
SONSUZ sıt.
1. Başlangıcı ve sonu olmayan, zamanda ve uzamda sınırı olan olmayan bırşey için kullanılır; sınırsız: Sayılann sonsuz dizisi. Evren sonsuzdur. (Bk. an- sikl. böl. Fels)
2. ölçülemeyecek kadar büyük, çok olan bir şey, bir nicelik ya da yoğunluk için kullanılır: Gökyüzünün sonsuz maviliği. Başkaldırabilmek için sonsuz bir cesaret gerekiyor.
*Elektroakust. Sonsuz şerit, uçları, sonsuz bir bant oluşturacak halde birleştirilmiş manyetik şerit. (Böylece, aynı akustik işaret sonsuz kez yinelenebilir.)
*Geom. Sonsuz küçükler geometrisi, analitik geometrinin, sonsuz küçükler hesabından yararlanan kolu.
*Küm. kur. Sonsuz küme, kendi ûz altkümelerinden biriyle bijeksiyon haline getirilebilen küme. (N organik tamsayılar kümesi sonsuzdur, bu sebeple lt;p ile, sıkı olarak M içinde bulunan (2, 3, 4,...) kümesi içinde bir bijeksiyon kurulabilir: bunun için bijeksiyonu, M nın her x i için y>(x)= n +2 olarak tanımlamak yetişir.)
*Mak. san. ve Aktar. Sonsuz kablo, zincir, kayış uçlan, esnek bir kapalı eğri oluşturacak halde birleştirilmiş kablo, zincir, kayış (transmisyon kayışları, taşıyıcı bant ya da zincirler).
*Mat. çözlm. Sonsuz küçükler hesabında incelenen kimi kavramlar için kullanılır. || Sonsuz büyük (aynı halde minik) fonksiyon, kimi koşullarda sonsuza (aynı halde sıfıra) yaklaşan fonksiyon. (SONSUZ BüYüK [aynı biçimde KüÇüK] de denir.) || Sonsuz küçükler çözümlemesi ya da sonsuz küçükler hesabı, çözümlemenin, sonsuz küçüklerin ve limitlerin incelenmesi üstüne kumlu, diferansiyel hesaptan ve integral hesabından oluşmuş kolu. (Bk. ansikl. böl.) || Asal sonsuz büyük (aynı halde minik), kendisiyle beraber verilen başka sonsuz büyüğün ya da büyüklerin (aynı halde sonsuz küçüğün ya da küçüklerin) asal parçasını ifade etmek için seçilmiş sonsuz büyük (aynı halde minik). || Beraber verilen sonsuz büyükler (aynı halde küçüklet), aynı değişkenin, aynı koşullardaki sonsuz büyükleri (aynı halde sonsuz küçükleri).
* a. Sonu, sınırı olmayan dizi, vakit ya da uzam: Artı sonsuzdan eksi sonsuza. Onu sonsuza dek hatırlayacağım.
*Geom. (n +1) inci benzeşik koordinatı sıfır olan, n boyutlu Desargues uzayının ya da izdüşümsel uzayın noktası. (Her türlü karışıklığı Önlemek için daha çok SONSUZDAKİ NOKTA deyimi kullanılır.) [Bk. ansikl. böl.] || Sonsuzun aşırıdüzlemi (ya da sonsuzdaki aşırıdüzlem), n boyutlu E†afin uzayının sonsuzdaki tüm noktalarının kümesi. || Sonsuzun doğrusu (ya da sonsuzdaki doğru), n= 2 halinde sonsuzun aşırıdüzlemi. || Sonsuzun düzlemi (ya da sonsuzdaki düzlem), n=3 olması halinde sonsuzun aşırıdüzlemi.
*Küm. kur. Sonsuzun (ya da sonsuzluk) beliti, kümeler kuramının, boş kümeyi içerince ve bir y elemanını içerince onun ardılını da içeren bir kümenin var bulunduğunu ifade eden temel beliti.
*Opt. ve Foto. Bir optik sistemi sonsuza ayarlama, bu sistemi, çok uzaktaki bir nesnenin görüntüsü net olarak görülebilecek ya da duyarlı yüzey üstüne düşürülebilecek halde ayarlama.
*ANSİKL Fels Aristoteles'e nazaran, iki sonsuz vardır: sonsuz sayıda bölümden oluşan bir büyüklükteki (nicelikteki) edimsel sonsuz ve düz bir çizgiyi durmadan böldüğümüzde karşımıza çıkan türden, kısaca bölünmeden lanan gizil sonsuz. Bu iki tarif matematiğe ve geometriye dayanır.
Descartes, sonsuz terimini, Tanrı'nın ayırtedici özelliği olarak özgülleştirdi ve sonsuz ile belirsiz içinde bir fark yapmış oldu Belirsiz terimini da şu şekilde saptadı: "sanal uzayların uzamı, sayıların çokluğu, niceliğin parçalarının bölünebilirliğı ve buna benzer şeyler şeklinde, sadece bazı bakımlardan sonu olmayan şeyler için bu terimi kullanıyorum ve onlara sonsuz değil de belirsiz diyorum" (Premieres Râponses [ilk yanıtlar]).
Bu sebeple Descartes'a nazaran, sınırsız olduğu seviyede, sadece Tanrı sonsuz olabilir: “Yalnızca Tanrı sonsuzdur [...], hem yetkinliklerinde hiçbir sınır görmediğimiz için, hem de herhangi bir sır olamayacağından güvenilir olduğumuz için (Felsefenin ilkeleri [Principes de la philosophie], 27)
Spinoza ile beraber sonsuz öğretisi zenginleşti. Spinoza, öğretisini Sonsuz üstüne mektupta (Lodevııijk Meyer'e 20 nisan 1663'te yazdığı “12. mektup") deklare etti ve iki tür sonsuz belirledi:
1) töz şeklinde, öz'ü gereği sonsuz olan (töz, öz'ü gereği, zorunlukla vardır, bu sebeple sonsuz olmaktan başka türlü düşünelemezâ€);
2) kip şeklinde, sebebi gereği sonsuz olan. Kipin aslı, varoluşu zorunlukla kapsamaz (kipin var olmadığı, bir çelişkiye düşmeden düşünülebilir), fakat o gene de sonsuzdur; bu sebeple sebebi olan Tanrı'nın her şeyi yaratmasını elde eden öncesiz sonrasız edimden o da hisse almıştır.
Spinoza'nın getirmiş olduğu yenilik şu fikre dayanır: "bir sonsuzun bir başka sonsuzdan daha büyük olduğu kolayca düşünülebilir. "Lodevvijk Meyer'e yazdığı mektupta Spinoza, bu sava yöneltilen şu eleştiriyi çürütmeye çalışır: bir B sonsuzundan daha büyük bir A sonsuzunun, B'den daha çok bölüm kapsaması gerekir; oysa olanaksız bir şeydir bu, bu sebeple A'nın bölümlerinin sayısı B'nin bölümlerinin sayısıyla aynı olmalıdır; kısaca verilebilecek her sayıdan daha büyük bir sayı, kısaca tüm sayıların en büyüğü olmalıdır. Spinoza ilkin, "sonsuzun, bölümlerin çokluğundan landığı" görüşünü yadsır: bölünmez olan töz, sonsuzdur ve çizgi noktalardan oluşmadığı şeklinde, töz de bölümlerden oluşmaz: "Filozofların çoğu zaman uzamlı tözün sonlu bulunduğunu göstermek için yararlandıkları tüm bu kanıt yığını, kendiliğinden yıkılıp gider, bu sebeple bu tür yaklaşımlar, bölümlerden oluşmuş cisim- sel bir tözü varsayar."
Spinoza bir de, sayının her türlü büyüklüğü ifade etmeye elverişli olduğu inancından lanan bir yanlış anlamaya parmak basar. Spinoza'ya nazaran sayılar, akıl varlıkları 'ndan başka bir şey değildirler ve imgelemin yardımcılarıdırlar; “düşünme kiplerinden çok, imgeleme kipleriâ€dirler. Doğayı sayılarla ifade etmeye yönelen görüşün, tözü parçaladığı ve özce bölünmez olan bir süreyi en minik parçalara böldüğü için eleştirilmesi, spinozacı öğretinin en temel kısmıdır; (sayıları sonlu bütünlerin göstergelerinden değişik şeyler olarak düşünmek için, XIX. yy.'ın sonunda keşfedilen sonluötesi kardinal sayılara ilişkin can- torcu kuramı beklemek gerekecektir).
Hakkaten de bu buluş, matematiksel sonsuzun tarihinde bir gelişmedir: XIX. yy.'a kadar, matematik "büyüklüklerin bilimi" olarak kabul edilmiş olduğu için sonsuz fikrr^Pythagoras'ın orandışı sayıları bulmasıyla ortaya çıkan limit kavramıyla beraber düşünülüyordu. Dolayısıyla sonsuz fikri, bir matematik kavramından çok bir olasılığı "bir geçiş işlemi"ni belirtiyordu. Bundan dolayı Gauss şu şekilde diyordu: "sonsuz, bazı fenomenlerin, limit isminde olan bir niceliğe hazzı olarak yaklaştırılabileceğıni, fakat bazı fenomenlerin de devamlı olarak kesiştiklerini belirtmek için kullanılan bir deyiştir". Gizil sonsuz, düşünülebilir olmasına karşın, yüklemlenebilir limit diye bir şeyin varolmadığını belirtir.
Cantor'un sonluötesi kümesiyle herhangi bir gizillik değil, büyüklük teriminin yer almadığı bir somut gerçeklik ortaya çıktı. Buna nazaran sonsuz, bir kümenin gücüyle temsil edilir; verilmiş ve edimsel olduğundan de limit kavramından bağımsız olarak vardır Böylece, sayılabilir sonsuz kümelerden daha yüksek kuvvette (süreklinin kuvvetinde) kümelere geçildiğinde, herhangi bir nicel artışa değil, bir özelliğe; kısaca sayılabilir olmama özelliğine gönderme yapılmış olur. Kümeler kuramı, nicel bir kavramın yerine nitel bir kavram koyarak bin senelik matematiksel sonsuz fikrini kökünden değiştirmiştir.
*Geom. P düzleminin bir doğrusunun sonsuzdaki noktasından söz etmek de olanaklıdır, bu kapalı olarak Desargues düzleminin bir doğrusuna, sadece sonsuzdaki bir noktanın karşılık geldiği anlamını taşır. 1 boyutlu Desargues uzayı olarak göz önüne alınabilen her doğrunun sonsuzda bir noktası olduğu doğalsa, gene de P nin noktaları ile onun sonsuzdaki doğrusunun noktaları arasındaki karşılığın iyi mi kurulacağını belirtmek uygun olur.
Bir D doğrusunun, belirli bir modülo koşutluk bağıntısı eşdeğerlik sınıfına girmiş olduğu bilinmektedir, bu sınıfa doğrunun doğrultusu denir. Bu doğrultu, karşılaştırma sisteminin O başlangıcından geçen temsil- cisirıce tümüyle ayırt edilir. Oysa, (u, v, 0) koordinatlı P nin sonsuzdaki her noktasına, O dan ve M(u, v) noktasından geçen doğru karşılık getirilebilir. Kuşkusuz göz önüne alınan sonsuzdaki noktasının benzeşik koordinat üçlüsü bir tane değildir; fakat daima (ku, kv, 0) biçimindedir ve gene (Olyl) doğrusuk ne olursa olsun My(ku, kv) noktası (OM) doğrusunun da elemanıdır- ve dolayısıyla aynı doğrultu bulunacaktır, (u, v, 0) koordinatlı sonsuzdaki noktanın, (u, v) İkilisiyle ayırt edilebilen tüm doğruların noktası olduğu söylenecektir. Denklemi, alışılagelen gösterilişlerle T = 0 olan sonsuzdaki doğru öyleyse, koşutluk bağıntısıyla elde edilmiş P doğrularının kümesinin bölüm uzayıyla, kısaca P nin doğrultular kümesiyle eşkuv- vettedir; böylece P nin bir D doğrusunun sonsuzdaki noktası, bu doğrunun doğrultusuna karşılık olan nokta durumunda bulunur.
3 boyutlu Desargues uzayında bulunulduğunda verilen bir düzlemin (dolayısıyla da kendi doğrultusundaki tüm düzlemlerin) sonsuzdaki doğrusunun hangisi olduğu aynı halde belirlenebilir.
*Mat. çözlm. Sonsuz küçükler hesabı, orandışı sayılardaki çelişkide ortaya çıkan, süreklilik ve sonsuz kavramlarından işlemsel halde kaygılanmaya ilk kalkışmayla beraber dünyaya gelmiştir. Antik Yunan'daya atılan, hemen sonra da Arkhimedes tarafınca geliştirilen ve eğriler ve eğri yüzeylerle sınırlanmış alanları ya da hacimleri hesaplamaya olanak elde eden tüketim yöntemi, sonsuz küçükler hesabının, integral hesabı yönünden, başlıca larından biridir. Bu yöntem, Eukleidesin V. kitabında kurduğu şeklinde büyüklüklerin ölçüsü üstüne ve karşılaştırılabilir büyüklükleri saptayan bir ölçülebilirlik beliti üstüne dayanmaktadır. Bövlece. birinin sonlu hiçbir katının, öbürünü aşmayacak halde minik olan (Arkhimedes beliti) iki niceliğin oranını oluşturmak uygun düşmez. Tüketim yöntemi (eğriyle sınırı olan) bir yüzeyin A alanının, malum (doğrusal sınırı olan) bir S yüzeyinin alanıyla karşılaştırmayı olanaklı kılar, bu karşılaştırma A ve S yüzeylerinden her ikisini birden iki U ve V yüzeyiyle kuşatarak yapılır, öyleki U-V farkı istenildiği kadar minik olsun. A ve S yi aynı U ve V yüzeyleriyle kuşatmakla eğri, doğruya sonsuz yakın olarak ortaya çıkar, fakat ona asla özdeş olmaz. Eskiler A nın S ye eşit bulunduğunu ortaya koymak için çifte olmaza indirgeme yapmışlardır. Ortaçağda, Yunanlılar'ın geometrik şekillerinin yayılmasından sonrasında matematikçiler, ilkönce Arkhimedes modelini uygulamaya koyuluyorlar, hemen sonra bu çifte olmaza indirgemeyi kaldırarak onu hafifletmeyi deniyorlar (bilhassa S. Stevin ve L. Vale- rio). İlkin, J Kepler (1571-1630), klasik şekilleri bırakıyor ve mesela çemberi, sonsuz kenarlı, muntazam bir çokgene benzetmede duraksama göstermiyor. B. Cava- lieri, E. Torricelli, G. R de Roberval ve B. Pascal, n, -1 den değişik oransal bir sayı olmak suretiyle
a n +1
x" dx
n +1
in eşdeğerini elde etmeye olanak elde eden bölünümezler yöntemini geliştiriyorlar. Eski tüketim yönteminden esinlenen ve sonsuz sayıda dikdörtgenin sonlu geometrik dizisi halindeki alanları toplayan P de Fermat (1601-1665), koordinatlar geometrisinin yeni görüşünden sistemli halde yararlanıyor, bu durum ona daha çok bir genelleme sağlıyor.
XVII. yy.'da, sonsuz küçükler şekillerinin kucak dolusu uygulanması, doğmakta olan fiziğin incelenmesinden ayrılmaz duruma gelmiştir. Devinimin incelenmesi teğet ve anlık hız kavramlarını lüzumlu kılıyor. Gök mekaniğinde gezegenlerin yörüngelerinin uzunluğunu hesaplamak önemlidir. Oysa tüm bu kavramlar, sonsuz küçükler hesabına, diferansiyel ve integral hesabına gelip dayanır.
Sonunda türev alma yöntemlerine varan teğetler problemi, Arkhimedes sarmalına teğet çizme ve Apollonios koniklerine teğetler çizme yöntemi şeklinde tek tek uygulanan yöntemler haricinde, sadece XVII yy.'da incelenmiştir. Eskilerin statik tanımına bir eğriye sadece bir noktada değen doğru daha genel erimi olan çok sayıda başkaları eklenmiştir. Fermat, teğeti, bir kesenin, eğriyle kesişme noktaları birbirine yaklaştığında bir kesenin limit konumu olarak betimledi.
Daha bir eğrinin uzunluğunun bir doğru parçasının uzunluğuna tam tamına eşit olabileceği zannedildiği yüzyılın sonuna doğru, W. Neil yarı kübik (denklemi >=x3) olan parabolün bir yayının uzunluğunu hesaplamayı başardı. Tüm bu problemler gittikçe artan bir ustalıkla incelenmiştir, fakat bu araştırma her biri için ayrı ayrı yapılmıştır. Bunların birleştirilmesi ve elde edilmiş sonuçların sıraya konması isaac Nevvton ile Gottfried Wilhelm Leibniz'in yapıtıdır. Birbirinden bağımsız olarak her biri bir algoritma buluş etmiş, bu algoritma Nevvton'da akışkanlar yöntemi biçiminde, Leibniz'de farklar hesabı biçimindedir. Nevırton kareleştirme yöntemleriyle "türev alma" şekilleri arasındaki bağın farkına vardı, bu sebeple o, denklemi y=f(x) olan bir eğri ile koordinat eksenlerine koşutlemlerini tersine götürerek, kısaca f nin ilkelini hesaplayarak kareleştirdi. Leibniz hesabını diferansiyel terimi üstüne kuruyor. Bunu tanımlamak için sonlu bir üçgenle bir eğrinin ayırtedicisi olarak göz önüne almış olduğu sonsuz minik üçgenin benzerliğinden yararlanıyor. Yönteminin kuvvetli yanı yalınlığında, zarif gösteriş biçimi (bugün onu hâlâ kullanmaktayız), neredeyse otomatikman hesapları hayata geçirmeye olanak veren işlemsel biçimciliğinde bulunmaktadır Sonsuz küçükler hesabında iki görüş -Leibniz ve Nevvton görüşü- zıtlaşacak ve matematikçileri iki rakip okula bölecek. İngiltere Nevvton'ın tutumuna sadık kalmış olduğu halde Avrupa kıtası daha çok burada çabucak yayılan şekilleri kabul edecek.
XVIII. yy.'da, sonsuz küçükler hesabı uygulamaların çeşitlenmesiyle genişledi, oysa sonsuz küçüklerin doğası daima mesele yaratmıştır. L. Euler, XVII. yy.'ın varlığını yasallaştırmaya çalmış olduğu doğa ötesi görüşleri atıyor. Simgeciliğe güvenerek, üstünde işlem yapmış olduğu nesnelerin doğasını açıklamaktan çok, kuralları berraklaştırmayı deniyordu.
Fonksiyon terimi, Euler'in çalışmalarından, bilhassa de Lagrange'ın çalışmalarından sonrasında merkezsel konum alıyor. Kendisi de biçimci olan Lagrange. verilmiş (“ilkel†denilen bir fonksiyona dayanarak, sırf cebirsel bir halde ("türevler" denen) başka fonksiyonlar oluşturmak için, fonksiyonların seriye açılımından yararlanıyor.
Temel olarak görünen limit terimini açıklamış olma hakkı esas olarak Cauchy'ye aittir: sonsuz minik, türev ve integral kavramları limit diliyle tanımlanmış olacaktır. Cauchy, parça parça devamlı fonksiyonlara uygulanan integral almanın birinci kuramını ortaya koyuyor. Ondan sonra, Riemann, sayılabilir sonsuz sayıda süreksizlikleri olan fonksiyonlara uzanan daha genel bir kuram geliştirecektir. Çözümlemeyi aritmetik üstüne kurmaktan kaygılanan çözümlemeci Kari VVeierstrass, Cauchy'nin tanımlarını aritmetik eşitsizliklere yansıtarak bu tanımları niceleyecek- tir. Diferansiyel ve integral hesabı öğrencilerine sergileyerek VVeierstrass, aritmetiğin mantıksal temelden yoksunluğunu fark ediyor ve oransal sayılara dayanarak orandışı sayıların bir ilk kuruluşunu ortaya koyuyor.
* Beraber verilmiş sonsuz küçükler ya da beraber verilmiş sonsuz büyükler içinde eşdeğerlik.
1. Beraber verilmiş iki sonsuz minik, sadece ve sadece farkları ikisinin birinden daha yüksek basamaktansa bunlar eşdeğerdirler.
2. Beraber verilmiş iki sonsuz büyük, sadece ve sadece farkları, ya ikisinin birinden daha minik basamaktan bir sonsuz büyük ya da göz önüne alınan koşullarda sonlu kalan bir fonksiyonsa bunlar eşdeğerdirler.
* Sonsuz küçükler üstünde hesap kuralları.
1. Toplam, a) Beraber verilmiş sonlu sayıdaki bir sonsuz küçükler toplamında terimlerden biri öbürlerinin hepsinden daha minik basamaktansa, bu terim toplama eşdeğerdir, b) Toplamı S' olan asal parçalar kabul eden, aynı p basamaklı sonlu sayıda sonsuz küçüklerin bir S toplamı verildiğine nazaran, SVO ise, S nin basamağı p ve asal parçası S' dür; S'=0 ise, S nin basamağı p den büyüktür.
2. Çarpım. Sonlu sayıda, beraber verilmiş birçok sonsuz küçüğün asal parçaları aynı ise, bunların çarpımlarının asal parçası, asal parçaları çarpımıdır.
3. Bölüm. Asal parçaları fdfi ve Bx« olan iki y ve z sonsuz küçüğü göz önüne alınırsa, p>q iseX, asal parçası Atf'-'i
olan bir sonsuz küçüktür; p = q iseX, zz_ye yaklaşır; plt;q ise i,-Li asal sonsuz B z x büyük almakla, asal parçası A|J_yı-p olan bir sonsuz büyüktür.
*Sonsuz büyükler üstüne hesap kuralları.
1. Toplam,
a) Beraber verilmiş sonlu sayıdaki bir toplamda, terimlerden biri öbürlerinin hepsinden büyük basamaklı ise, bu terim toplama eşdeğerdir
b) Avnı p basamağından, S' toplamlı asal parçalar kabul eden, beraber varilmiş sonlu sayıda sonsuz büyüklerden oluşan bir S toplamı verildiğine nazaran, S' *0 ise S, p basamaklıdır ve S' ü asal parça olarak kabul eder, S'-O ise S, p den minik basamaklı bir sonsuz büyüktür ya da sonlu kalır.
2. Çarpım. Beraber verilmiş sonlu sayıdaki sonsuz büyüğün asal parçalan aynı ise, bunların çarpımının asal parçası, asal parçalarının çarpımıdır.
3. Bölüm. Asal parçaları kxP ve Bx« olan iki y ve z sonsuz büyüğü göz önüne alınırsa, p>q ise X, asal parçası Axo-« olan bir sonsuz büyüktür; p- g ise X,
A ye yaklaşır; plt;q ise X, _L asal sonsuz minik alınırsa, asal parçası A olan bir sonsuz küçüktür.
1. Başlangıcı ve sonu olmayan, zamanda ve uzamda sınırı olan olmayan bırşey için kullanılır; sınırsız: Sayılann sonsuz dizisi. Evren sonsuzdur. (Bk. an- sikl. böl. Fels)
2. ölçülemeyecek kadar büyük, çok olan bir şey, bir nicelik ya da yoğunluk için kullanılır: Gökyüzünün sonsuz maviliği. Başkaldırabilmek için sonsuz bir cesaret gerekiyor.
*Elektroakust. Sonsuz şerit, uçları, sonsuz bir bant oluşturacak halde birleştirilmiş manyetik şerit. (Böylece, aynı akustik işaret sonsuz kez yinelenebilir.)
*Geom. Sonsuz küçükler geometrisi, analitik geometrinin, sonsuz küçükler hesabından yararlanan kolu.
*Küm. kur. Sonsuz küme, kendi ûz altkümelerinden biriyle bijeksiyon haline getirilebilen küme. (N organik tamsayılar kümesi sonsuzdur, bu sebeple lt;p ile, sıkı olarak M içinde bulunan (2, 3, 4,...) kümesi içinde bir bijeksiyon kurulabilir: bunun için bijeksiyonu, M nın her x i için y>(x)= n +2 olarak tanımlamak yetişir.)
*Mak. san. ve Aktar. Sonsuz kablo, zincir, kayış uçlan, esnek bir kapalı eğri oluşturacak halde birleştirilmiş kablo, zincir, kayış (transmisyon kayışları, taşıyıcı bant ya da zincirler).
*Mat. çözlm. Sonsuz küçükler hesabında incelenen kimi kavramlar için kullanılır. || Sonsuz büyük (aynı halde minik) fonksiyon, kimi koşullarda sonsuza (aynı halde sıfıra) yaklaşan fonksiyon. (SONSUZ BüYüK [aynı biçimde KüÇüK] de denir.) || Sonsuz küçükler çözümlemesi ya da sonsuz küçükler hesabı, çözümlemenin, sonsuz küçüklerin ve limitlerin incelenmesi üstüne kumlu, diferansiyel hesaptan ve integral hesabından oluşmuş kolu. (Bk. ansikl. böl.) || Asal sonsuz büyük (aynı halde minik), kendisiyle beraber verilen başka sonsuz büyüğün ya da büyüklerin (aynı halde sonsuz küçüğün ya da küçüklerin) asal parçasını ifade etmek için seçilmiş sonsuz büyük (aynı halde minik). || Beraber verilen sonsuz büyükler (aynı halde küçüklet), aynı değişkenin, aynı koşullardaki sonsuz büyükleri (aynı halde sonsuz küçükleri).
* a. Sonu, sınırı olmayan dizi, vakit ya da uzam: Artı sonsuzdan eksi sonsuza. Onu sonsuza dek hatırlayacağım.
*Geom. (n +1) inci benzeşik koordinatı sıfır olan, n boyutlu Desargues uzayının ya da izdüşümsel uzayın noktası. (Her türlü karışıklığı Önlemek için daha çok SONSUZDAKİ NOKTA deyimi kullanılır.) [Bk. ansikl. böl.] || Sonsuzun aşırıdüzlemi (ya da sonsuzdaki aşırıdüzlem), n boyutlu E†afin uzayının sonsuzdaki tüm noktalarının kümesi. || Sonsuzun doğrusu (ya da sonsuzdaki doğru), n= 2 halinde sonsuzun aşırıdüzlemi. || Sonsuzun düzlemi (ya da sonsuzdaki düzlem), n=3 olması halinde sonsuzun aşırıdüzlemi.
*Küm. kur. Sonsuzun (ya da sonsuzluk) beliti, kümeler kuramının, boş kümeyi içerince ve bir y elemanını içerince onun ardılını da içeren bir kümenin var bulunduğunu ifade eden temel beliti.
*Opt. ve Foto. Bir optik sistemi sonsuza ayarlama, bu sistemi, çok uzaktaki bir nesnenin görüntüsü net olarak görülebilecek ya da duyarlı yüzey üstüne düşürülebilecek halde ayarlama.
*ANSİKL Fels Aristoteles'e nazaran, iki sonsuz vardır: sonsuz sayıda bölümden oluşan bir büyüklükteki (nicelikteki) edimsel sonsuz ve düz bir çizgiyi durmadan böldüğümüzde karşımıza çıkan türden, kısaca bölünmeden lanan gizil sonsuz. Bu iki tarif matematiğe ve geometriye dayanır.
Descartes, sonsuz terimini, Tanrı'nın ayırtedici özelliği olarak özgülleştirdi ve sonsuz ile belirsiz içinde bir fark yapmış oldu Belirsiz terimini da şu şekilde saptadı: "sanal uzayların uzamı, sayıların çokluğu, niceliğin parçalarının bölünebilirliğı ve buna benzer şeyler şeklinde, sadece bazı bakımlardan sonu olmayan şeyler için bu terimi kullanıyorum ve onlara sonsuz değil de belirsiz diyorum" (Premieres Râponses [ilk yanıtlar]).
Bu sebeple Descartes'a nazaran, sınırsız olduğu seviyede, sadece Tanrı sonsuz olabilir: “Yalnızca Tanrı sonsuzdur [...], hem yetkinliklerinde hiçbir sınır görmediğimiz için, hem de herhangi bir sır olamayacağından güvenilir olduğumuz için (Felsefenin ilkeleri [Principes de la philosophie], 27)
Spinoza ile beraber sonsuz öğretisi zenginleşti. Spinoza, öğretisini Sonsuz üstüne mektupta (Lodevııijk Meyer'e 20 nisan 1663'te yazdığı “12. mektup") deklare etti ve iki tür sonsuz belirledi:
1) töz şeklinde, öz'ü gereği sonsuz olan (töz, öz'ü gereği, zorunlukla vardır, bu sebeple sonsuz olmaktan başka türlü düşünelemezâ€);
2) kip şeklinde, sebebi gereği sonsuz olan. Kipin aslı, varoluşu zorunlukla kapsamaz (kipin var olmadığı, bir çelişkiye düşmeden düşünülebilir), fakat o gene de sonsuzdur; bu sebeple sebebi olan Tanrı'nın her şeyi yaratmasını elde eden öncesiz sonrasız edimden o da hisse almıştır.
Spinoza'nın getirmiş olduğu yenilik şu fikre dayanır: "bir sonsuzun bir başka sonsuzdan daha büyük olduğu kolayca düşünülebilir. "Lodevvijk Meyer'e yazdığı mektupta Spinoza, bu sava yöneltilen şu eleştiriyi çürütmeye çalışır: bir B sonsuzundan daha büyük bir A sonsuzunun, B'den daha çok bölüm kapsaması gerekir; oysa olanaksız bir şeydir bu, bu sebeple A'nın bölümlerinin sayısı B'nin bölümlerinin sayısıyla aynı olmalıdır; kısaca verilebilecek her sayıdan daha büyük bir sayı, kısaca tüm sayıların en büyüğü olmalıdır. Spinoza ilkin, "sonsuzun, bölümlerin çokluğundan landığı" görüşünü yadsır: bölünmez olan töz, sonsuzdur ve çizgi noktalardan oluşmadığı şeklinde, töz de bölümlerden oluşmaz: "Filozofların çoğu zaman uzamlı tözün sonlu bulunduğunu göstermek için yararlandıkları tüm bu kanıt yığını, kendiliğinden yıkılıp gider, bu sebeple bu tür yaklaşımlar, bölümlerden oluşmuş cisim- sel bir tözü varsayar."
Spinoza bir de, sayının her türlü büyüklüğü ifade etmeye elverişli olduğu inancından lanan bir yanlış anlamaya parmak basar. Spinoza'ya nazaran sayılar, akıl varlıkları 'ndan başka bir şey değildirler ve imgelemin yardımcılarıdırlar; “düşünme kiplerinden çok, imgeleme kipleriâ€dirler. Doğayı sayılarla ifade etmeye yönelen görüşün, tözü parçaladığı ve özce bölünmez olan bir süreyi en minik parçalara böldüğü için eleştirilmesi, spinozacı öğretinin en temel kısmıdır; (sayıları sonlu bütünlerin göstergelerinden değişik şeyler olarak düşünmek için, XIX. yy.'ın sonunda keşfedilen sonluötesi kardinal sayılara ilişkin can- torcu kuramı beklemek gerekecektir).
Hakkaten de bu buluş, matematiksel sonsuzun tarihinde bir gelişmedir: XIX. yy.'a kadar, matematik "büyüklüklerin bilimi" olarak kabul edilmiş olduğu için sonsuz fikrr^Pythagoras'ın orandışı sayıları bulmasıyla ortaya çıkan limit kavramıyla beraber düşünülüyordu. Dolayısıyla sonsuz fikri, bir matematik kavramından çok bir olasılığı "bir geçiş işlemi"ni belirtiyordu. Bundan dolayı Gauss şu şekilde diyordu: "sonsuz, bazı fenomenlerin, limit isminde olan bir niceliğe hazzı olarak yaklaştırılabileceğıni, fakat bazı fenomenlerin de devamlı olarak kesiştiklerini belirtmek için kullanılan bir deyiştir". Gizil sonsuz, düşünülebilir olmasına karşın, yüklemlenebilir limit diye bir şeyin varolmadığını belirtir.
Cantor'un sonluötesi kümesiyle herhangi bir gizillik değil, büyüklük teriminin yer almadığı bir somut gerçeklik ortaya çıktı. Buna nazaran sonsuz, bir kümenin gücüyle temsil edilir; verilmiş ve edimsel olduğundan de limit kavramından bağımsız olarak vardır Böylece, sayılabilir sonsuz kümelerden daha yüksek kuvvette (süreklinin kuvvetinde) kümelere geçildiğinde, herhangi bir nicel artışa değil, bir özelliğe; kısaca sayılabilir olmama özelliğine gönderme yapılmış olur. Kümeler kuramı, nicel bir kavramın yerine nitel bir kavram koyarak bin senelik matematiksel sonsuz fikrini kökünden değiştirmiştir.
*Geom. P düzleminin bir doğrusunun sonsuzdaki noktasından söz etmek de olanaklıdır, bu kapalı olarak Desargues düzleminin bir doğrusuna, sadece sonsuzdaki bir noktanın karşılık geldiği anlamını taşır. 1 boyutlu Desargues uzayı olarak göz önüne alınabilen her doğrunun sonsuzda bir noktası olduğu doğalsa, gene de P nin noktaları ile onun sonsuzdaki doğrusunun noktaları arasındaki karşılığın iyi mi kurulacağını belirtmek uygun olur.
Bir D doğrusunun, belirli bir modülo koşutluk bağıntısı eşdeğerlik sınıfına girmiş olduğu bilinmektedir, bu sınıfa doğrunun doğrultusu denir. Bu doğrultu, karşılaştırma sisteminin O başlangıcından geçen temsil- cisirıce tümüyle ayırt edilir. Oysa, (u, v, 0) koordinatlı P nin sonsuzdaki her noktasına, O dan ve M(u, v) noktasından geçen doğru karşılık getirilebilir. Kuşkusuz göz önüne alınan sonsuzdaki noktasının benzeşik koordinat üçlüsü bir tane değildir; fakat daima (ku, kv, 0) biçimindedir ve gene (Olyl) doğrusuk ne olursa olsun My(ku, kv) noktası (OM) doğrusunun da elemanıdır- ve dolayısıyla aynı doğrultu bulunacaktır, (u, v, 0) koordinatlı sonsuzdaki noktanın, (u, v) İkilisiyle ayırt edilebilen tüm doğruların noktası olduğu söylenecektir. Denklemi, alışılagelen gösterilişlerle T = 0 olan sonsuzdaki doğru öyleyse, koşutluk bağıntısıyla elde edilmiş P doğrularının kümesinin bölüm uzayıyla, kısaca P nin doğrultular kümesiyle eşkuv- vettedir; böylece P nin bir D doğrusunun sonsuzdaki noktası, bu doğrunun doğrultusuna karşılık olan nokta durumunda bulunur.
3 boyutlu Desargues uzayında bulunulduğunda verilen bir düzlemin (dolayısıyla da kendi doğrultusundaki tüm düzlemlerin) sonsuzdaki doğrusunun hangisi olduğu aynı halde belirlenebilir.
*Mat. çözlm. Sonsuz küçükler hesabı, orandışı sayılardaki çelişkide ortaya çıkan, süreklilik ve sonsuz kavramlarından işlemsel halde kaygılanmaya ilk kalkışmayla beraber dünyaya gelmiştir. Antik Yunan'daya atılan, hemen sonra da Arkhimedes tarafınca geliştirilen ve eğriler ve eğri yüzeylerle sınırlanmış alanları ya da hacimleri hesaplamaya olanak elde eden tüketim yöntemi, sonsuz küçükler hesabının, integral hesabı yönünden, başlıca larından biridir. Bu yöntem, Eukleidesin V. kitabında kurduğu şeklinde büyüklüklerin ölçüsü üstüne ve karşılaştırılabilir büyüklükleri saptayan bir ölçülebilirlik beliti üstüne dayanmaktadır. Bövlece. birinin sonlu hiçbir katının, öbürünü aşmayacak halde minik olan (Arkhimedes beliti) iki niceliğin oranını oluşturmak uygun düşmez. Tüketim yöntemi (eğriyle sınırı olan) bir yüzeyin A alanının, malum (doğrusal sınırı olan) bir S yüzeyinin alanıyla karşılaştırmayı olanaklı kılar, bu karşılaştırma A ve S yüzeylerinden her ikisini birden iki U ve V yüzeyiyle kuşatarak yapılır, öyleki U-V farkı istenildiği kadar minik olsun. A ve S yi aynı U ve V yüzeyleriyle kuşatmakla eğri, doğruya sonsuz yakın olarak ortaya çıkar, fakat ona asla özdeş olmaz. Eskiler A nın S ye eşit bulunduğunu ortaya koymak için çifte olmaza indirgeme yapmışlardır. Ortaçağda, Yunanlılar'ın geometrik şekillerinin yayılmasından sonrasında matematikçiler, ilkönce Arkhimedes modelini uygulamaya koyuluyorlar, hemen sonra bu çifte olmaza indirgemeyi kaldırarak onu hafifletmeyi deniyorlar (bilhassa S. Stevin ve L. Vale- rio). İlkin, J Kepler (1571-1630), klasik şekilleri bırakıyor ve mesela çemberi, sonsuz kenarlı, muntazam bir çokgene benzetmede duraksama göstermiyor. B. Cava- lieri, E. Torricelli, G. R de Roberval ve B. Pascal, n, -1 den değişik oransal bir sayı olmak suretiyle
a n +1
x" dx
n +1
in eşdeğerini elde etmeye olanak elde eden bölünümezler yöntemini geliştiriyorlar. Eski tüketim yönteminden esinlenen ve sonsuz sayıda dikdörtgenin sonlu geometrik dizisi halindeki alanları toplayan P de Fermat (1601-1665), koordinatlar geometrisinin yeni görüşünden sistemli halde yararlanıyor, bu durum ona daha çok bir genelleme sağlıyor.
XVII. yy.'da, sonsuz küçükler şekillerinin kucak dolusu uygulanması, doğmakta olan fiziğin incelenmesinden ayrılmaz duruma gelmiştir. Devinimin incelenmesi teğet ve anlık hız kavramlarını lüzumlu kılıyor. Gök mekaniğinde gezegenlerin yörüngelerinin uzunluğunu hesaplamak önemlidir. Oysa tüm bu kavramlar, sonsuz küçükler hesabına, diferansiyel ve integral hesabına gelip dayanır.
Sonunda türev alma yöntemlerine varan teğetler problemi, Arkhimedes sarmalına teğet çizme ve Apollonios koniklerine teğetler çizme yöntemi şeklinde tek tek uygulanan yöntemler haricinde, sadece XVII yy.'da incelenmiştir. Eskilerin statik tanımına bir eğriye sadece bir noktada değen doğru daha genel erimi olan çok sayıda başkaları eklenmiştir. Fermat, teğeti, bir kesenin, eğriyle kesişme noktaları birbirine yaklaştığında bir kesenin limit konumu olarak betimledi.
Daha bir eğrinin uzunluğunun bir doğru parçasının uzunluğuna tam tamına eşit olabileceği zannedildiği yüzyılın sonuna doğru, W. Neil yarı kübik (denklemi >=x3) olan parabolün bir yayının uzunluğunu hesaplamayı başardı. Tüm bu problemler gittikçe artan bir ustalıkla incelenmiştir, fakat bu araştırma her biri için ayrı ayrı yapılmıştır. Bunların birleştirilmesi ve elde edilmiş sonuçların sıraya konması isaac Nevvton ile Gottfried Wilhelm Leibniz'in yapıtıdır. Birbirinden bağımsız olarak her biri bir algoritma buluş etmiş, bu algoritma Nevvton'da akışkanlar yöntemi biçiminde, Leibniz'de farklar hesabı biçimindedir. Nevırton kareleştirme yöntemleriyle "türev alma" şekilleri arasındaki bağın farkına vardı, bu sebeple o, denklemi y=f(x) olan bir eğri ile koordinat eksenlerine koşutlemlerini tersine götürerek, kısaca f nin ilkelini hesaplayarak kareleştirdi. Leibniz hesabını diferansiyel terimi üstüne kuruyor. Bunu tanımlamak için sonlu bir üçgenle bir eğrinin ayırtedicisi olarak göz önüne almış olduğu sonsuz minik üçgenin benzerliğinden yararlanıyor. Yönteminin kuvvetli yanı yalınlığında, zarif gösteriş biçimi (bugün onu hâlâ kullanmaktayız), neredeyse otomatikman hesapları hayata geçirmeye olanak veren işlemsel biçimciliğinde bulunmaktadır Sonsuz küçükler hesabında iki görüş -Leibniz ve Nevvton görüşü- zıtlaşacak ve matematikçileri iki rakip okula bölecek. İngiltere Nevvton'ın tutumuna sadık kalmış olduğu halde Avrupa kıtası daha çok burada çabucak yayılan şekilleri kabul edecek.
XVIII. yy.'da, sonsuz küçükler hesabı uygulamaların çeşitlenmesiyle genişledi, oysa sonsuz küçüklerin doğası daima mesele yaratmıştır. L. Euler, XVII. yy.'ın varlığını yasallaştırmaya çalmış olduğu doğa ötesi görüşleri atıyor. Simgeciliğe güvenerek, üstünde işlem yapmış olduğu nesnelerin doğasını açıklamaktan çok, kuralları berraklaştırmayı deniyordu.
Fonksiyon terimi, Euler'in çalışmalarından, bilhassa de Lagrange'ın çalışmalarından sonrasında merkezsel konum alıyor. Kendisi de biçimci olan Lagrange. verilmiş (“ilkel†denilen bir fonksiyona dayanarak, sırf cebirsel bir halde ("türevler" denen) başka fonksiyonlar oluşturmak için, fonksiyonların seriye açılımından yararlanıyor.
Temel olarak görünen limit terimini açıklamış olma hakkı esas olarak Cauchy'ye aittir: sonsuz minik, türev ve integral kavramları limit diliyle tanımlanmış olacaktır. Cauchy, parça parça devamlı fonksiyonlara uygulanan integral almanın birinci kuramını ortaya koyuyor. Ondan sonra, Riemann, sayılabilir sonsuz sayıda süreksizlikleri olan fonksiyonlara uzanan daha genel bir kuram geliştirecektir. Çözümlemeyi aritmetik üstüne kurmaktan kaygılanan çözümlemeci Kari VVeierstrass, Cauchy'nin tanımlarını aritmetik eşitsizliklere yansıtarak bu tanımları niceleyecek- tir. Diferansiyel ve integral hesabı öğrencilerine sergileyerek VVeierstrass, aritmetiğin mantıksal temelden yoksunluğunu fark ediyor ve oransal sayılara dayanarak orandışı sayıların bir ilk kuruluşunu ortaya koyuyor.
* Beraber verilmiş sonsuz küçükler ya da beraber verilmiş sonsuz büyükler içinde eşdeğerlik.
1. Beraber verilmiş iki sonsuz minik, sadece ve sadece farkları ikisinin birinden daha yüksek basamaktansa bunlar eşdeğerdirler.
2. Beraber verilmiş iki sonsuz büyük, sadece ve sadece farkları, ya ikisinin birinden daha minik basamaktan bir sonsuz büyük ya da göz önüne alınan koşullarda sonlu kalan bir fonksiyonsa bunlar eşdeğerdirler.
* Sonsuz küçükler üstünde hesap kuralları.
1. Toplam, a) Beraber verilmiş sonlu sayıdaki bir sonsuz küçükler toplamında terimlerden biri öbürlerinin hepsinden daha minik basamaktansa, bu terim toplama eşdeğerdir, b) Toplamı S' olan asal parçalar kabul eden, aynı p basamaklı sonlu sayıda sonsuz küçüklerin bir S toplamı verildiğine nazaran, SVO ise, S nin basamağı p ve asal parçası S' dür; S'=0 ise, S nin basamağı p den büyüktür.
2. Çarpım. Sonlu sayıda, beraber verilmiş birçok sonsuz küçüğün asal parçaları aynı ise, bunların çarpımlarının asal parçası, asal parçaları çarpımıdır.
3. Bölüm. Asal parçaları fdfi ve Bx« olan iki y ve z sonsuz küçüğü göz önüne alınırsa, p>q iseX, asal parçası Atf'-'i
olan bir sonsuz küçüktür; p = q iseX, zz_ye yaklaşır; plt;q ise i,-Li asal sonsuz B z x büyük almakla, asal parçası A|J_yı-p olan bir sonsuz büyüktür.
*Sonsuz büyükler üstüne hesap kuralları.
1. Toplam,
a) Beraber verilmiş sonlu sayıdaki bir toplamda, terimlerden biri öbürlerinin hepsinden büyük basamaklı ise, bu terim toplama eşdeğerdir
b) Avnı p basamağından, S' toplamlı asal parçalar kabul eden, beraber varilmiş sonlu sayıda sonsuz büyüklerden oluşan bir S toplamı verildiğine nazaran, S' *0 ise S, p basamaklıdır ve S' ü asal parça olarak kabul eder, S'-O ise S, p den minik basamaklı bir sonsuz büyüktür ya da sonlu kalır.
2. Çarpım. Beraber verilmiş sonlu sayıdaki sonsuz büyüğün asal parçalan aynı ise, bunların çarpımının asal parçası, asal parçalarının çarpımıdır.
3. Bölüm. Asal parçaları kxP ve Bx« olan iki y ve z sonsuz büyüğü göz önüne alınırsa, p>q ise X, asal parçası Axo-« olan bir sonsuz büyüktür; p- g ise X,
A ye yaklaşır; plt;q ise X, _L asal sonsuz minik alınırsa, asal parçası A olan bir sonsuz küçüktür.
Kaynak: Büyük Larousse
Sonsuz Aşk
Sonsuz Serüven
Sonsuz
YORUMLAR