Üçgenlerin çevre ve alanı nasıl hesaplanır?

üçgenlerin çevre ve alanı nasıl hesaplanır? üçgen Herhangi bir üçgen. Bir üçgen , düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktay...

üçgenlerin çevre ve alanı nasıl hesaplanır?

üçgen

Herhangi bir üçgen.

Bir üçgen, düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimidir.

Düzlem geometrisinin temel şekillerinden biridir. Bir üçgenin üç köşesi ve bu köşeleri birleştiren, doğru parçalarından oluşan üç kenarı vardır. Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180° dış açılarının toplamı 360°'dir.


Burada;

A, B, C noktaları üçgenin köşeleri ve doğru parçaları üçgenin kenarlarıdır. üçgenin iç açılarıdır.

Matematiksel tanım

Yukarıda anlatılan biçimiyle (Öklit düzleminde) üçgen, [Riemann geometrisinde daha genel bir nesnenin özel bir durumudur. X bir Riemann uzayı ve A, B, C, bu uzayın birbirine doğrusal olmayan üç noktası olsun. Bu üç noktanın her bir çifti arasında birer kesel (jeodezik) seçilsin. Bu üç keselin birleşimine ABC üçgeni denir. Örneğin, bir Riemann yüzeyi olarak dünya yüzeyinde, kuzey kutbundan 0 meridyeniyle ekvatora, ekvator boyunca 90. doğu meridyenine, bu meridyen boyunca geri kuzey kutbuna çıkan eğri, bir üçgen oluşturur. Bu üçgenin iç açıları toplamı 270°'dir.

üçgenin açıları

üçgenin dış açıları



üçgenin iç açıları toplamının 180 derece olduğunun ispatı


BAC, ABC ve ACB üçgenin içaçılarıdır.

• üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.

Bir ABC üçgenine, A tepe noktasından teğet geçecek ve BC ye paralel olacak şekilde bir doğru çizildiğinde, BC doğru parçasının açıları, iç ters açılar kuralından dolayı tepe açısının yanına gelerek bir doğru parçasının yarısını kaplarlar.

• üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Bir ABD üçgenine, D tepe noktasından teğet geçecek ve taban olan BC ye paralel olacak şekilde bir doğru çizilip kenarlar uzatıldığında, yöndeş açılar kuralı yardımıyla bu önerme kanıtlanabilir.

üçgenlerin türleri

üçgenler, kendilerini oluşturan parçaların (köşe, kenar, açılar vb.) aynı düzlemde olup olmadığına göre sınıflandırılabilir. Eğer üçgenin tamamı tek bir düzlemdeyse düzlemsel, diğer durumlarda da örneğin küresel ya da hiperbolik üçgen terimleri kullanılır.

Kenarlarına Göre


Eşkenar, İkizkenar, Çeşitkenar


İkizkenar üçgen

İki kenarı eşit olan üçgenlerdir. Ayrıca iki açısı birbirine eşitir. Eşit olmayan kenara indirilen dikme hem açıortay hem kenarortay özelliği gösterir.

Dar Açılı üçgen

Açıları 90 dereceden küçük olan üçgenlere denir.

Dik üçgen
Dik üçgen Bir açısı dik (90°) olan üçgenlerdir. Bu üçgenlerde yükseklik dik kenarlardan biridir. En uzun kenarına hipotenüs denir.
Geniş Açılı üçgen

Açılarından biri 90°den geniş olan üçgenlerdir. Sadece bir tek kenarı geniş açı olabilir. Tabana ait yükseklik tabanın uzantısı ile kesişir.

Pisagor bağıntısı

Bir dik üçgenin dik kenarlarına 'a' ve 'b' dersek hipotenüs'ün karesi bu kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir. Buna Pisagor Teoremi denir. Yani:


Alan Hesaplaması
Kenardan Yararlanma



Alan hesaplaması

Bir üçgenin alanı taban ve tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır:

ayrıcaınızın başıyla da ölçebilirsiniz.


Açıdan Yararlanma

Bir üçgenin alanı herhangi iki kenarını ile aralarında kalan açının sinüsünün çarpımının yarısıdır.



Heron Yöntemi

Çevre uzunluğuna '2u',' dersek alan:



Kosinüs Teoremi
Kosinüs teoremi

Herhangi bir üçgende a, b, c kenarlarını alalım. a ve b arasında kalan açı da alfa(α) olsun. c kenarını bulmak için kullanılacak formül:



üçgende yardımcı elemanlar
Açıortay
Açıortay

Bir açıyı iki eş açıya bölen doğru veya doğru parçasına açıortay denir. Açıortayların kesiştiği nokta, üçgenin içteğet çemberinin merkezidir..


Açıortay



Kenarortay
Kenarortay


Kenarortaylar ve ağırlık merkezi

Bir üçgende bir köşeden karşısındaki kenara uzatılan doğru bu kenarı iki eş parçaya bölüyorsa buna kenarortay denir.Bir üçgende kenarortayların kesiştiği noktaya ağırlık merkezi denir. G harfi ile gösterilir.

Ağırlık merkezi, bir kenarortayı 2n ve n olarak böler. Yani köşeye A, kenarortayın kenarı kestiği noktaya D dersek;
olur.


Kenarortay teoremi

üçgen İle İlgili Teoremler

Seva Teoremi



Seva Teoremi'nin uygulandığı üçgen

Seva teoremi, üçgenin köşelerinden karşıdaki kenarın herhangi bir noktasına çizilen doğrulardan oluşan şekilde uygulanan bir teoremdir. Uygulaması şu şekildedir:



Menelaus Teoremi



Menelaus Teoremi

üçgenle aynı düzlemde olan ve üçgenin köşelerinden geçmeyen herhangi bir doğrunun, üçgenin bir kenarının uzantısıyla kesişim noktalarının üçgenin köşelerine uzaklıkları arasındaki ilişkiyi anlatan teoremdir. Uygulaması:


Steward Teoremi

Steward Teoremi, bir üçgende, bir köşeden karşı kenara çizilen herhangi bir doğru ile kenarlar arasındaki bir bağıntıdır. Bağıntı aşağıdaki gibidir:



Carnot Teoremi
Carnot Teoremi

üçgenin iç bölgesinde alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerle kenarlar sırasıyla a,b(ilk kenar) x,y(ikinci kenar) m,n(üçüncü kenar) olmak üzere parçalara ayrılsın.Benzerlik bağıntılarını kurduğumuzda:

• 
  üçgenin alanı nasıl hesaplanır?


• 
  Paralelkenarın alanı ve çevresi nasıl hesaplanır?


• 
  Dairenin çevresi ve alanı nasıl hesaplanır?

Bu mesaj 'en iyi cevap' seçilmiştir.

Gösterim: 11388
Boyut: 16.7 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>

üçgen

Gösterim: 10979
Boyut: 10.6 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>

Herhangi bir üçgen.

Bir üçgen, düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimidir.

Düzlem geometrisinin temel şekillerinden biridir. Bir üçgenin üç köşesi ve bu köşeleri birleştiren, doğru parçalarından oluşan üç kenarı vardır. Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180° dış açılarının toplamı 360°'dir.
Gösterim: 10921
Boyut: 10.2 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>

Burada;

A, B, C noktaları üçgenin köşeleri ve Gösterim: 10910
Boyut: 9.4 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>doğru parçaları üçgenin kenarlarıdır. Gösterim: 10915
Boyut: 8.3 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>üçgenin iç açılarıdır.

Matematiksel tanım

Yukarıda anlatılan biçimiyle (Öklit düzleminde) üçgen, [Riemann geometrisinde daha genel bir nesnenin özel bir durumudur. X bir Riemann uzayı ve A, B, C, bu uzayın birbirine doğrusal olmayan üç noktası olsun. Bu üç noktanın her bir çifti arasında birer kesel (jeodezik) seçilsin. Bu üç keselin birleşimine ABC üçgeni denir. Örneğin, bir Riemann yüzeyi olarak dünya yüzeyinde, kuzey kutbundan 0 meridyeniyle ekvatora, ekvator boyunca 90. doğu meridyenine, bu meridyen boyunca geri kuzey kutbuna çıkan eğri, bir üçgen oluşturur. Bu üçgenin iç açıları toplamı 270°'dir.

üçgenin açıları

Gösterim: 10892
Boyut: 1.8 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>

üçgenin dış açıları

Gösterim: 10880
Boyut: 2.9 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>

üçgenin iç açıları toplamının 180 derece olduğunun ispatı


BAC, ABC ve ACB üçgenin içaçılarıdır.
Gösterim: 10877
Boyut: 11.2 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>

• üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.

Bir ABC üçgenine, A tepe noktasından teğet geçecek ve BC ye paralel olacak şekilde bir doğru çizildiğinde, BC doğru parçasının açıları, iç ters açılar kuralından dolayı tepe açısının yanına gelerek bir doğru parçasının yarısını kaplarlar.

• üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Bir ABD üçgenine, D tepe noktasından teğet geçecek ve taban olan BC ye paralel olacak şekilde bir doğru çizilip kenarlar uzatıldığında, yöndeş açılar kuralı yardımıyla bu önerme kanıtlanabilir.

üçgenlerin türleri

üçgenler, kendilerini oluşturan parçaların (köşe, kenar, açılar vb.) aynı düzlemde olup olmadığına göre sınıflandırılabilir. Eğer üçgenin tamamı tek bir düzlemdeyse düzlemsel, diğer durumlarda da örneğin küresel ya da hiperbolik üçgen terimleri kullanılır.

Kenarlarına Göre
Gösterim: 10925
Boyut: 15.3 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>

Eşkenar, İkizkenar, Çeşitkenar


İkizkenar üçgen

İki kenarı eşit olan üçgenlerdir. Ayrıca iki açısı birbirine eşitir. Eşit olmayan kenara indirilen dikme hem açıortay hem kenarortay özelliği gösterir.

Dar Açılı üçgen

Açıları 90 dereceden küçük olan üçgenlere denir.

Dik üçgen
Dik üçgen Bir açısı dik (90°) olan üçgenlerdir. Bu üçgenlerde yükseklik dik kenarlardan biridir. En uzun kenarına hipotenüs denir.
Geniş Açılı üçgen

Açılarından biri 90°den geniş olan üçgenlerdir. Sadece bir tek kenarı geniş açı olabilir. Tabana ait yükseklik tabanın uzantısı ile kesişir.

Pisagor bağıntısı

Bir dik üçgenin dik kenarlarına 'a' ve 'b' dersek hipotenüs'ün karesi bu kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir. Buna Pisagor Teoremi denir. Yani:
Gösterim: 10874
Boyut: 8.6 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>

Alan Hesaplaması
Kenardan Yararlanma
Gösterim: 10854
Boyut: 10.3 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>


Alan hesaplaması

Bir üçgenin alanı taban ve tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır:

Gösterim: 10831
Boyut: 9.3 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>ayrıcaınızın başıyla da ölçebilirsiniz.


Açıdan Yararlanma

Bir üçgenin alanı herhangi iki kenarını ile aralarında kalan açının sinüsünün çarpımının yarısıdır.
Gösterim: 10819
Boyut: 9.8 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>


Heron Yöntemi

Çevre uzunluğuna '2u',' dersek alan:
Gösterim: 10829
Boyut: 10.8 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>


Kosinüs Teoremi
Kosinüs teoremi

Herhangi bir üçgende a, b, c kenarlarını alalım. a ve b arasında kalan açı da alfa(α) olsun. c kenarını bulmak için kullanılacak formül:
Gösterim: 10790
Boyut: 9.7 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>


üçgende yardımcı elemanlar
Açıortay
Açıortay

Bir açıyı iki eş açıya bölen doğru veya doğru parçasına açıortay denir. Açıortayların kesiştiği nokta, üçgenin içteğet çemberinin merkezidir..
Gösterim: 10807
Boyut: 10.6 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>

Açıortay
Gösterim: 10835
Boyut: 14.8 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>


Kenarortay
Kenarortay
Gösterim: 10782
Boyut: 11.8 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>

Kenarortaylar ve ağırlık merkezi

Bir üçgende bir köşeden karşısındaki kenara uzatılan doğru bu kenarı iki eş parçaya bölüyorsa buna kenarortay denir.Bir üçgende kenarortayların kesiştiği noktaya ağırlık merkezi denir. G harfi ile gösterilir.

Ağırlık merkezi, bir kenarortayı 2n ve n olarak böler. Yani köşeye A, kenarortayın kenarı kestiği noktaya D dersek;
Gösterim: 10766
Boyut: 8.9 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>olur.


Kenarortay teoremi
Gösterim: 10746
Boyut: 9.3 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>

üçgen İle İlgili Teoremler

Seva Teoremi
Gösterim: 10747
Boyut: 10.4 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>


Seva Teoremi'nin uygulandığı üçgen

Seva teoremi, üçgenin köşelerinden karşıdaki kenarın herhangi bir noktasına çizilen doğrulardan oluşan şekilde uygulanan bir teoremdir. Uygulaması şu şekildedir:
Gösterim: 10734
Boyut: 11.2 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>


Menelaus Teoremi
Gösterim: 10715
Boyut: 9.7 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>


Menelaus Teoremi

üçgenle aynı düzlemde olan ve üçgenin köşelerinden geçmeyen herhangi bir doğrunun, üçgenin bir kenarının uzantısıyla kesişim noktalarının üçgenin köşelerine uzaklıkları arasındaki ilişkiyi anlatan teoremdir. Uygulaması:
Gösterim: 10736
Boyut: 12.9 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>

Steward Teoremi

Steward Teoremi, bir üçgende, bir köşeden karşı kenara çizilen herhangi bir doğru ile kenarlar arasındaki bir bağıntıdır. Bağıntı aşağıdaki gibidir:
Gösterim: 10687
Boyut: 10.7 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>


Carnot Teoremi
Carnot Teoremi

üçgenin iç bölgesinde alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerle kenarlar sırasıyla a,b(ilk kenar) x,y(ikinci kenar) m,n(üçüncü kenar) olmak üzere parçalara ayrılsın.Benzerlik bağıntılarını kurduğumuzda:
Gösterim: 10682
Boyut: 10.0 KB" style="max-width:100%;margin: 2px;"/>

Alıntı

İki kenar uzunluğu bilinen üçgenin çevresi hesaplanabilir mi?

İki kenar uzunluğu verilen üçgenin çevre hesabında önce üçüncü kenarın alabileceği değer ya da değerler hesaplanır sonra çevre uzunlukları toplanarak üçgenin çevresi bulunmuş olur.üçüncü kenar verilen iki kenarın farkından büyük, toplamından küçük bir değer aralığındadır!


Kenar uzunlukları (a,b,c) olan ve iki kenar uzunluğu bilinen bir ABC üçgeninde üçüncü kenar;

a-blt;clt;a+b ifadesiyle hesaplanır!


Mesela çevre uzunlukları 8, 4 ve c cm olan bir üçgende bilinmeyen kenar c kenarıdır ve 8-4lt;clt;8+4=4lt;clt;12 bağıntısına göre üçüncü kenar olan c kenarı bu aralıkta bir değer alıyordur...vs gibi (Bir üçgende, büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında da her zaman küçük kenar bulunuyordur)!

• 
  üçgenin alanı nasıl hesaplanır?


• 
  Paralelkenarın alanı ve çevresi nasıl hesaplanır?


• 
  Dairenin çevresi ve alanı nasıl hesaplanır?